1276 



bleek, dat aan elk punt .4 van a een punt B dezer lijn kan worden 

 toegevoegd met hetzelfde raakvlak. Bewegen A en B zich bij 

 draaiing van het raakvlak in tegengestelde richting, dan zijn er 

 twee ontmoetingspunten P en Q. Het bleek, dat F B niet bestaanbaar 

 is, wanneer in geen enkel raakvlak door a de restkromme degene- 

 reert. Het zou nu mogelijk zijn, dat de degeneratie juist plaats vindt 

 in het raakvlak van een der ontmoetingspunten b.v. van P. De rest- 

 kromme zon dan bestaan uit twee verschillende rechten door P(ook 

 elk verschillend van a 1 )), of' uit twee samenvallende rechten door P. 



We laten in de eerste plaats zien, dat dit laatste geval niet kan 

 voorkomen. Zij « het raakvlak in P. De doorsnede hierin bestaat uit 

 de rechte a en een dubbeltellende rechte b. Laten we raakvlakken 

 door a tot a convergeeren, dan naderen de toegevoegde raakpunten 

 van weerszijden tot P en de raakvlakovalen convergeeren tot b. 

 Hieruit volgt, dat in elk der beide halflijnen waarin P de lijn b 

 verdeelt, de sectoren van F 3 van dezelfde zijde van «samenkomen, 

 maar van verschillende zijden voor verschillende halflijnen. 



Beginnen we onze redeneering echter met lijn b, dan blijkt op 

 dezelfde wijze dat P op b eveneens ontmoetingspunt is van toe- 

 gevoegde raakpunten en de lijn a speelt de rol die b zoo juist vervulde. 

 In elk der halflijnen van a komen de sectoren dus weer van dezelfde 

 zijde van <x samen, maar van verschillende zijden voor verschillende 

 halflijnen. Dit alles samengevat blijkt niet in overeenstemming te 

 brengen met den samenhang der vier takken die in « van P uitgaan, 

 daar we te doen hebben met een tweedimensionaal continuüm. 



Men zou nog de mogelijkheid kunnen opperen, dat b in elk vlak 

 dubbel telt. De restkromme zou dan echter steeds uit een rechte 

 bestaan en F* zou dus oneindig veel rechten bevatten. 



Beschouwen we nu het geval dat de restkromme uit twee ver- 

 schillende lijnen door P bestaat. De doorsnede in e. bestaat dan dus 

 uit drie verschillende rechten a, b en c door P. Laten de raak- 

 vlakken «!, a„ . . . . door a tot a convergeeren. Dan convergeeren de 

 raakpunten P,, P, . . . . van de eene zijde, en P\, P', .... van de 

 andere zijde tot P 



De raakvlakpvalen gaan op den duur door het oneindige en 

 worden dan door de oneindig verre lijn gesplitst in twee takken. 



l ) De mogelijkheid dal hel restovaal degenereert in de lijn a en een tweede van 

 a verschillende rechte, is vroeger buiten beschouwing gelaten, daar we toen steeds 

 aannamen dat geen tweede rechte van F 3 de lijn a snijdt. Hier echter moet dit 

 geval onder de oogen worden gezien. Het blijkt dan vrij gemakkelijk, dat, althans 

 bij een oppervlak van de derde orde met een eindig aantal rechten, dit geval zich 

 niet kan voordoen, 



