1278 



dan zullen de takken door toegevoegde raakpunten die eerst hun 

 convexe zijden naar elkaar toekeeren, na het passeeren van den 

 genoemden stand hun concave zijden naar elkaar keeren en omgekeerd. 



Laat F" nu bevatten 3 rechten in één vlak: a lt a t en « 8 . Is er nog 

 een vierde b x , dan kan deze niet in dit vlak liggen maar moet wel 

 een der drie eerste, b.v. a x , snijden. 



In het vlak door a x en b x bestaat de doorsnede dan weer uit 3 

 rechten, dus weer een nieuwe lijn b 2 moet a x snijden. Indertijd 

 concludeerden we dat F* niet bestaanbaar is zonder drie lijnen in 

 één vlak te vertoonen, daar anders het verloop van convexiteit en con- 

 caviteit der takken door toegevoegde raakpunten op een eerst aan- 

 wezige rechte, niet sluitend was temaken. Op grond van het zoo juist 

 bewezene blijkt nu, dat voor de rechte a, het verloop, dat door de 

 eerste degeneratie mogelijk was gemaakt, door de tweede weer 

 verstoord is en er is een derde degeneratie noodig om het weer in 

 orde te maken. 



Stelling 2 is hiermee aangetoond (we herinneren nog even aan 

 het boven gevonden resultaat, dat degeneratie in 3 rechten door één 

 punt slechts mogelijk is wanneer de takken in de naderende vlakken 

 hun convexe zijden naar elkaar toekeeren). 



$ 2. Bevat F 1 meer dan 3 rechten, dan is hun aantal volgens 

 stelling 2 minstens 7, waarvan er zeker 6 eenzelfde rechte snijden. 

 Nu kunnen op deze laatste rechte hoogstens twee ontmoetingspunten 

 van toegevoegde raakpunten voorkomen en hieruit volgt, dat er minstens 

 één vlak is, waarin de doorsnede bestaat uit 3 rechten die een 

 driehoek vormen. 



Zij dit vlak a, de rechten a, b en c en hun snijpunten A, B en 

 C (A stelt het snijpunt voor van b en c enz.). Bevat F 3 7 rechten, 

 dan wordt een der rechten in <i, b.v. a nog door 4 andere gesneden. 

 Er zal nu worden bewezen, dat indien het aantal rechten grooter 

 is dan 7, het" minstens 15 is. 



Bevat F* meer dan 7 rechten, dan worden of minstens twee der 

 rechten in u elk door nog 4 niet in a gelegen rechten gesneden, 

 of één van hen heeft nog minstens 8 niet in u gelegen snijlijnen. 

 Beschouwen we de eerste mogelijkheid: a en b hebben elk nog min- 

 stens 4 tot F z behoorende en niet in a gelegen snijlijnen, m.a.w. 

 door elk dezer beide lijnen gaan minstens 2 van a verschillende 

 vlakken, waarin het ovaal gedegenereerd is. 



Zij a, een niet in « gelegen snijlijn van a en A Y het snij- 

 punt van a, en a. Volgens stelling 1 kan A x niet met B of C 

 samenvallen. Zij /? een vlak door b waarin het ovaal gedegenereerd 



