1279 



is. De lijn a x snijdt dit vlak in een niet in « gelegen punt. Dit 

 punt moet liggen op een der beide lijnen waarin liet ovaal in /? 

 is gedegenereerd. Deze lijn b x snijdt b in een punt 5, dat weer 

 verschillend is van A en C. Beschouwen we nu het vlak door «, 

 en b l . De doorsnede hierin bevat a l en b 1 en bestaat dus uit 3 

 rechten welke geen van alle in « kunnen liggen daar de lijn A x B l 

 met geen der rechten in a samenvalt. Het vlak door a x en b x heeft 

 echter ook een punt gemeen met lijn c waaruit volgt dat ook c 

 één (en dus minstens 4) niet in « gelegen snijlijn heeft. Elk 

 der 3 lijnen in « wordt dus nog door minstens 4, niet in a gelegen, 

 rechten gesneden en het totale aantal is dus minstens 15. 



Tot het tweede geval komende onderstellen we dat rechte a nog 

 minstens 8. niet in a gelegen, snijlijnen heeft, m.a.w. in minstens 

 4 van a verschillende vlakken door a degenereert het ovaal. Kiezen 

 we hieruit 3 elkaar kruisende snijlijnen a,, a a en a, van a. 

 Deze bepalen een tweedegraads regelschaar. Deze regelschaar heeft 

 minstens met één der beide rechten b en c twee verschillende 

 punten gemeen, aangezien het vlak o. niet raakvlak kan zijn zoowel 

 in B als in C- De regelschaar heeft dus b.v. met b een punt B l 

 gemeen, verschillend van C. Dit beteekent echter dat door B x een 

 transversaal gaat van de 3 rechten a x , a 2 en « 8 en daar B x zelf ook 

 tot F z behoort, ligt deze transversaal geheel op F". De lijn b heeft 

 dus minstens één (en dus minstens 4) niet in a gelegen snijlijn. 

 De redeneering gebruikt voor de eerste mogelijkheid laat dan verder 

 zien dat er ook door c nog minstens 4 rechten gaan die tot F 9 be- 

 hooren en niet in « liggen. Het totale aantal is dus reeds minstens 19. 



Er zal nu worden bewezen, dat indien het aantal rechten grooter 

 is dan 15, het minstens 27 is. Zijn er meer dan 15 dan moeten er, 

 op grond van het voorgaande, door een der rechten van a, b.v. a 

 minstens 8, en door elk der beide andere minstens 4, tot F" behoo- 

 rende en niet in « gelegen, rechten gaan. 



We kiezen een niet in <( gelegen snijlijn b x van b. Zij b/ 

 de derde rechte van de doorsnede in het vlak door b en />,. De 

 lijn b x snijdt 4 elkaar kruisende snijlijnen van a. Door 6, en 

 elk dezer 4 brengen we een vlak. Deze vlakken snijden o volgens 

 verschillende lijnen door het snijpunt van b en b l en snijden lijn <■ 

 dus in verschillende punten. Door elk dezer 4 punten van ( ' gaat 

 een rechte van F' die niet in o ligt. De lijn b\ snijdt eveneens 4 

 kruisende transversalen van a en. op dezelfde wijze krijgen we weer 

 4 punten van c waardoor rechten van F 3 gaan. Nu kan geen dezer 

 laatste 4 punten met een der eerste 4 samenvallen, wam in dal 

 geval zou een rechte van F' moeten gaan door dal punt en door 



