1280 



het snij pu 11 * van b l en b\, wat volgens stelling 1 onmogelijk is. 

 De lijn c heeft das minstens 8 niet in « gelegen snijlijnen en 

 hetzelfde kan voor b worden aangetoond. Derhalve bevat F* in 

 totaal minstens 27 rechten. 



Er blijft nog over te bewijzen dat het aantal rechten op F*, on- 

 eindig groot is, indien er meer dan 27 zijn. 



Hulpstelling: 4 kruisende rechten op F 1 welke een transversaal 

 hebben, hebben steeds twee verschillende transversalen. 



Laten de rechten zijn a t , a t , a t en a 4 en zij a een eerste transver- 

 saal, die natuurlijk eveneens tot F 3 behoort. De derde rechten in 

 de vlakken door a en elk der eerste vier noemen we respectievelijk 

 tt\, *' al a't en a\. 



De restkroinme moet nog in een vijfde vlak « door a degenereeren. 

 De rechten hierin noemen we b en c. Op grond van het voorgaande 

 heeft elk der beide rechten b en c nog minstens 8, niet in a gelegen, 

 snijlijnen. 1 ) Vatten we deze 16 rechten in het oog: p lt p„ ... p l6 . Elk 

 dezer lijnen snijdt 4 kruisende van het stel : a l ,a i ,a l ,a i ,a\,a\,a' l ,a' < . 



Het is niet mogelijk dat 2 der lijnen p b.v. p n en p m dezelfde 

 4 lijnen a» snijden, want deze 4 zouden dan '6 verschillende trans- 

 versalen hebben (p„, p, n en a) en dus oneindig veel, m. a. w. F 3 zou 

 oneindig veel rechten bevatten. 



Uit de lijnen a, . . . a 4 , a\ . . . a\ kan men op 16 wijzen 4 krui- 

 sende lijnen halen (ze liggen 2 aan 2 in één vlak) en daar er 16 

 lijnen p zijn heeft elke groep van 4 kruisende rechten a n een tweede 

 van a verschillende transversaal. Dit geldt dus ook voor het stel 

 a l ,a i ,a l ,a < wat we wenschten aan te toonen. 



Nu we over deze hulpstelling naast stelling 1 van § 1 beschikken, 

 kan het betoog van Juel dat F 3 , indien meer dan 27 oneindig veel 

 rechten bevat, zonder meer worden overgenomen (Math. Ann. 76, 

 p. 561 en 562). 



Het onderzoek van de aantallen rechten welke noodig zijn om 

 F 3 bestaanbaar te maken is hiermee afgeloopen. 



We besluiten met een eenigszins op zichzelf staand resultaat, dat 

 toevalligerwijze voor den dag kwam. 



F 3 zou slechts dan 7 (en niet meer) rechten kunnen bevatten wan- 

 neer op de gemeenschappelijke transversaal (die hier steeds bestaat), 

 de bewegingsrichtingen van toegevoegde raakpunten tegengesteld zijn. 



l ) Men kan aanvoeren dat het snijpunt van b en c op a zou kunnen vallen. Aan 

 dit bezwaar is echter als volgt tegemoet te komen: Men kiest twee lijnen a n en 

 a' n die met a een driehoek vormen. De voorgaande resultaten laten dan zien dat 

 a n en a'n elk nog 8 snijlijnen hebben. Deze 16 rechten, die alle a kruisen, 

 kunnen dan dienst doen als de, in den tekst ingevoerde, rechten Pi,p 2 p i6 . 



