1486 



Voor de nulkromme van O t vindt men dan 



(«, a( 2 ) — tf 2 a(!J) .ly»- 1 + . . . = 0, 



waaruit blijkt, dat de nulkromme G]c'" + ] van Sk in Sk een dubbelpunt 

 beeft. Deze uitkomst was te voorzien, maar geldt natuurlijk sleebts 

 voor het geval, dat S voor een willekeuriger] straal door *S enkel- 

 voudig nulpunt is. 



2. Als een punt N~ de rechte p beschrijft, omhult zijn nulstraal n 

 een kromme van de klasse (ra -|- 1), die door het teeken (p),„+i zal 

 worden aangeduid. Immers de nulkromme van een willekeurig punt 

 Q snijdt p in (ra -|- 1) punten JST, waarvan de nulstralen door Q 

 gaan. Blijkbaar is p een ?»-voudige raaklijn van (p),„_j_i. 



De nidkrommen {p) m +\ en (q) m +i hebben in den nulstraal van het 

 punt pq een gemeenschappelijke raaklijn. Elk der overige gemeen- 

 schappelijke raaklijnen is een rechte n, w y aarvan een der nulpunten 

 JV" op p, een ander nulpunt JV' op q ligt. Als N de rechte p door- 

 loopt, beschrijven de overige nulpunten N' dus een kromme (iV') 

 van den graad (m 2 -j- 2 ra). 



Elk der nulpunten van p is (?/i — J)-maal als punt _N' te beschou- 

 wen, zoodat (iV) in die nulpunten m(m — 1) punten met p gemeen 

 heeft. In elk der overige 3m snijpunten van p met (iV') valt een 

 punt j\" met een punt N~ samen lot een dubbel nulpunt, iV (2) , der- 

 overeenkomstige rechte n. 



In een dubbel nulpunt hebben de krommen (P) van een bundel 

 een gemeenschappelijke raaklijn ; een der bundelkrommen heeft daar 

 dan een dubbelpunt. De meetkundige plaats der dubbele nulpunten 

 (coïncidentiekromme) valt dus samen met de Jacobiana van het net 

 der krommen (P). Daar deze in het algemeen een kromme van den 

 graad 3 ra is, kan uit het bovenstaande de gevolgtrekking worden 

 gemaakt, dat het nulstelsel in het algemeen geen singuliere rechten 

 bezit. Immers, als een rechte elk van haar punten tot nulpunt heeft, 

 is zij gemeenschappelijke raaklijn der nulkrommen (p) m _|_i en (q) m +i. 



De coïncidentiekromme y 3 '" heeft, als Jacobiana, (m 3 -f- m -4- 1) 

 dubbelpunten Sk- 



Dit kan als volgt worden bevestigd. Door P gaan (?n a -\- m — 2) 

 raaklijnen van (P)"^ 1 ; hun raakpunten zijn dubbele nulpunten, dus 

 punten van y 3 "'. De overige 3??i (ra -|- 1) — (ra a -\- m — 2) snijpunten 

 van (P) met y moeten in de singuliere punten liggen; maar dan 

 moet y in elk punt S een dubbelpunt hebben. 



3. Beschouwen wij thans de meetkundige plaats x der groepen 



