1488 



\{m — 2)(?» — 3)(m 5 -{-7»?-|-4) stralen, die elk twee dubbele nulpunten 

 hebben. 



Met behulp van deze beide aantallen zou men opnieuw den graad 

 der complementaire kromme kunnen bepalen. Immers de krommen 

 y en x zullen elkaar aanraken in de drievoudige nulpunten en 

 moeten elkaar snijden in de gekoppelde dubbele nulpunten; verder 

 hebben zij in elk singulier punt 2(m, 2 -j-ra — 6) punten gemeen. Hiermee 

 rekening houdend vindt men inderdaad voor den graad van v. het 

 boven verkregen getal. 



5. Wij hebben tot dusver ondersteld, dat de singuliere punten 

 alle enkelvoudig en verschillend zijn, maar bovendien, dat elk punt 

 *S enkelvoudig nulpunt is op een willekeurige door S getrokken straal. 

 Een voorbeeld van een $1(1, m), waarvan de singuliere punten ten 

 deele dubbele nulpunten zijn, levert de beschouwing van een bundel 

 van krommen c r , wanneer men aan elke rechte haar raakpunten 

 met krommen van den bundel als nulpunten toevoegt. Een straal 

 door een basispunt van (c r ) wordt buiten dat punt door 2(r — 2) 

 krommen geraakt, terwijl een willekeurige rechte 2'r— 1) nulpunten 

 heeft; dus is elk basispunt als dubbel nulpunt te beschouwen. De 

 overige singuliere punten van dit nulstelsel SR(l,2r — 2) liggen in de 

 dubbelpunten der nodale krommen c r ; zij zijn blijkbaar enkelvoudige 

 nulpunten op de door hen getrokken rechten. 



Wij zullen nu onderstellen, dat 9Ï (l,w) in het bezit is van .<?, 

 singuliere punten S [2 \ die dubbele nulpunten van hun stralen zijn. 

 Daar een straal door »S (2) , buiten dat punt, (ra — 2) nulpunten draagt, 

 heeft de nulkronnne o~( 2 -> in S(- ] een drievoudig punt. De comple- 

 mentaire kromme bestaat thans uit de .?, nulkrommen gW en een 

 kromme x* van den graad (m — 2) (ra 2 -|- 4m -f- 1) — (ra -f- l)s it ter- 

 wijl de kromme t is vervangen door een kromme t* van de klasse 

 (in -4- 2) {m, — 1) — s\ en de s 2 klassepunten S( 2 \ 



Neemt men in aanmerking, dat <7&(' 2 ) alle singuliere punten Sf 2 ^ 

 en S m bevat, dan vindt men, dat se* met (ra a -|- m — 6 — s,) takken 

 door elk punt S en met (ra 8 -j- ra — 8— -*„) takken door elk punt 

 8W gaat. 



6. Om tot een bepaling van het aantal drievoudige nulpunten 

 N rA ' te geraken, voegen wij aan elk punt iV^ 2 ' van een straal t de 

 (ra — 2) nulpunten N' van t toe, en beschouwen de verwantschap, 

 welke daardoor in een waaier met top T ontstaat. Daar de punten 

 iV (2) op de kromme y s ", de punten jS t ' op de kromme x' liggen, 

 zijn de kenmerkende getallen dezer verwantschap blijkbaar 3m(m — 2) 



