1489 



en (m — 2) (ra s -|- Am -|- 1) — (m -f- l)Sj>v terwijl elke straal t door T 

 een (m — 2)vondige coincidentie levert. Het aantal der overige coïn- 

 cidenties bedraagt 



3m(m— 2) -f (ra— 2) (ot 1 -f Am -f J) — (m -f l).s- a — (m' + 7??— 2— *,) 

 (ra— 2) d.1. (ra— 2)(6m + 3)— 3.?,. .. 



Er zijn dus 3(?n — 2) (2w -f- 1) — $.<?, nulstralen met een drievoudig 

 nulpunt. 



Om liet aantal gekoppelde dubbele nulpunten A T(2 > te vinden, 

 voegen wij aan elk punt JV' van een straal tf.elk der overige nul- 

 punten A "' van t toe. De involutorisclie verwantschap, die daardoor 

 in den waaier T ontstaat, heeft tot kenmerkend getal [(ra — 2) 

 '(jni'.-\- Am .+ 1)— (ra -f~;l)s 2 ](ra — 3); elke straal £ door 7 1 vertegen- 

 woordigt nu (ra — 2) (ra — 3) coïncidenties. De overige coïncidenties, 

 ten getale van 2(m— 3) [(ra-- 2) (ra 2 + Am -4- 1) — (ra -j- IX] — (ra' -f- 

 •4- ra — 2 — 5 2 ) (m — 2) (ra — 3), vormen paren van dubbele nulpunten. 



Er zijn dus |(m— 2) (ra — 3) (m" -f 7»?i -f 4) — ±0— 3) (ra -4- A)s 3 

 stralen, die ieder twee dubbele nulpunten dragen. 



Een nulstelsel 5ï(l,ra) met (m 2 -\- m -j- 1) enkelvoudige singuliere 

 punten heeft dus 3(m— 2) (2m ~\- Ij nulstralen met een drievoudig 

 nulpunt en |(m — 2) (ni — 3) (m 2 -\- lm -f- 4) nulstralen met tweedub- 

 bele nulpunten. 



Hiermee zijn de uitkomsten van § 4 bevestigd. 



Voor het bovengenoemd nulstelsel 57(1, 2r — 2) is .s-, — r 1 ; het 

 aantal drievoudige nulpunten bedraagt dus 3(7r Q — 22r-f-12). Voor 

 r = 3 vindt men hieruit 27. Nu is voor een bundel (c 8 ) elk basis- 

 punt buigpunt op drie krommen c 3 ; het getal 27 ontstaat dus hier- 

 door, dat de 9 basispunten ieder op drie nulstralen als drievoudig 

 nulpunt dienst doen. Daar deze opmerking voor eiken bundel (C) 

 geldt, zal het aantal punten N~&) buiten de basispunten gelijk zijn 

 aan 3(6r s — 22?' -\-. 12). In zulk een punt heeft een c r vier samenge- 

 vallen punten met haar raaklijn gemeen. In het algemeen heeft een 

 bundel (c') dus 6(r — 3} {Sr — 2) krommen, die een undulatiepunt 

 vertoonen 1 ). 



7. Wanneer de krommen A] c = ($ 1) in O a een /voudig punt 

 hebben, is S = O, op elk van zijn stralen een rvoudig nulpunt. 

 Buiten het singuliere nulpunt *S zijn er dan nog (ra* -\- m -f- \) r* 

 enkelvoudige singuliere nulpunten «S. 



De nulkromme van S heeft lot vergelijking A x a\ A % x x = 0; 

 zij heeft dus in S een (?• .-f- \)voudig punt. 



') Een andere afleiding van dit aantal heb ik gegeven in „Kaisceaux de courbe: 

 planes" (Archives Teyler, sér. II, t. XI. |>. 90). 



97* 



