1490 



De nulkromme (P)"^ 1 heeft in S een rvoudig punt, zendt dus 

 door P (m* -\- m— 2) — (r" — r) raaklijnen t, waarvan de raakpunten 

 op de coïncidentiekromme y liggen. Deze heeft dubbelpunten in de 

 punten S; van haar snijpunten met (P)' n +i liggen dus in S 

 3w (ra + 1) — (m* + m— 2— r 2 + r) — 2(/u" + m + J -r') = (3/<— l)r. 



Hieruit volgt, dat y in S a een (3r — l)voudig punt bezit. 



Om den graad der complementaire kromme te bepalen, beschouwen 

 wij twee bundels van nulkrommen («V+ 1 ) en (c 3 " l + 1 ), en voegen aan 

 elke (V+ 1 de (m 2 -\- m — 2 — r 2 -f- »') krommen c/H -1 toe, welke zij 

 op y 3 '", buiten de punten S, snijdt. Het voortbrengsel van de aldus 

 gekoppelde bundels bestaat uit tweemaal de kromme y, uit 

 (m 2 -j- m — 2 — r 2 4 r) maal de kromme c'"+ l , die tot beide bundels 

 behoort, en uit de complementaire kromme x . Voor haar graad vindt 

 men nu (m 2 -\- m — 2 — r 2 ~\- r) (m + 1) — 6???, d. i. (m — 2) (m 2 -f- 

 + 4?» + Ij — (m + 1) r (?■ — 1). 



Met het oog op § 3 besluit men hieruit, dat de nulkromme van 

 S r (r — 1) maal als bestanddeel van v. is te beschouwen. 



De methode van § 6 opnieuw loepassende, vinden wij nu het 

 aantal drievoudige nulpunten uit 



Zm (m-2) + (to-2) (m 2 + Am + I ) - (m -j- 1) r (r-l)-[m-2) {m 2 4 ra^2-r 2 4 r) 



d.i. 



(m— 2) (6 m 4 3) — 3 r (r—l). 



Voor het aantal nulstralen met Uree dubbele nulpunten vinden wij 

 analoog 



i (m— 2) (m— 3) (wi 2 4- 7/aj + 4)-|(«i- 3) (m4-4) r {r—l). 



8. Een zeer bijzonder lineair nulstelsel verkrijgt men door te 

 onderstellen, dat de functies A^ (§ 1) slechts x x en ,c, bevatten. In 

 dat geval stelt 



£ l A 1 + 'é t A z + Z s A s = 



een straleninvolutie van den tweeden rang voor, waarvan de oo 2 groepen, 

 elk van m stralen, projectief overeenkomen met de rechten van 

 liet vlak. 



Do nulkrommen hebben thans in S = O s een ?»-voudig punt, zijn 

 dus rationaal ; de nulkromme van S is ontaard in (m -\- 1) stralen, 

 die elk een der enkelvoudige singuliere nulpunten S bevatten. 



Duidt men de afgeleiden van Ai- naar % l en x, door (Ak) x en 

 {Ak) 7 aan, dan vindt men voor de meetkundige plaats der dubbele 

 nulpunten de vergelijking 



