Wiskunde. De Heer Jan de Vriks biedt een mededeeling aan 



over: „Nulstelsels, welke door twee lineaire stralencongruenties 

 worden bepaald". 



1. Een ruimtekromme ai', welke door een rechte a in (/> — 1) punten 

 wordt gesneden, bepaalt een lineaire congruentie (l,p), waarvan elke 

 straal u op a en op ai' rust. Analoog bepaalt een kromme /??, die 

 door de rechte b in (q — 1) punten wordt gesneden, een congruentie 

 (!,<?), waarvan de stralen v op b en $i rusten. 



Door een punt N gaat in het algemeen één straal u en één straal v. 

 Voegt men het vlak v = uv als nulvlak aan iV toe, dan ontstaat 

 een nulstelsel, waarin een vlak v in het algemeen /; q nulpunten 

 heeft, n.1. de snijpunten van de p stralen u met de q stralen v. 



Als ^ r een rechte / doorloopt, beschrijven de stralen u en v twee 

 regelvlakken, die achtereenvolgens van den graad (p -\- 1) en den 

 graad (q -{- 1)' zijn, en elkaar doorsnijden volgens een kromme (/) 

 van den graad {p q -\- p -f- q). Een willekeurig vlak v door / heeft 

 met (/) de pq nulpunten van v gemeen, en bovendien (p -j- q) op / 

 gelegen punten, die elk als nulpunt behoqren tot een bepaald vlak v. 

 Anders gezegd, de rechte lijn / is (p -\- q) maal nulstraal. In de 

 notatie van R. Sturm heeft het nulstelsel dus de kenmerkende getallen 

 a = 1, (t—pq, y = p -f q, kan bijgevolg door 2ft (l,p q, p -\- q) 

 worden aangeduid. 



2. Als v met u samenvalt, heeft elk punt dier rechte elk vlak 

 door die rechte tot nulvlak. Nu hebben de congruenties (l,/>) en 

 (!,</) in het algemeen (p q -f- 1) stralen gemeen. Er zijn dus (pq-\- 1) 

 singuliere rechten s. 



Ook de krommen ai' en §ï zijn .meetkundig 'e\ plaatsen van singuliere 

 punten. Door een punt ^4* van ui' gaat een straal y* en een waaier 

 van stralen u. In elk vlak door v* ligt één straal u; dus is A* nulpunt 

 van elk vlak van een bundel, die w* tot as heeft. De rechten v* 

 vormen een regelolak van den graad p{q-\-l); immers een vlak 

 door /; bevat p stralen y* en een punt van b draagt pq stralen ?;*. 

 Ten slotte zijn ook de punten van a en b singuliere nulpunten. Een 

 punt A% van a draagt één straal v., en co 1 stralen u, die een kegel 

 van den graad p, met (/> — l)-voudige ribbe a, vormen. Elk vlak 

 door % bevat p stralen u, zoodat A% als p-vöudig nulpunt is te ' 



