1493 



beschouwen. De stralen v% vormen een regelvlak van den graad (q -\- 1). 

 Een rechte u (of v) is nulstraal voor elk van haar punten ; in verband 

 hiermee ontaardt de kromme (/) voor l = n of l=v. 



3. Als een vlak v door het punt P blijft gaan, beschrijven zijn 

 nulpunten een oppervlak ( P) van den graad (p -f- q -f- 1). Immers, 

 een rechte / door P draagt (p -f- q) punten N, die hun nulvlak door 

 P zenden. 



De rechten u en v, die elkaar in P snijden, liggen op (P); immers 

 elk van hun punten zendt zijn nulvlak door P. 



Op (P) liggen verder de (p q 4- 1) singuliere stralen s en de singuliere 

 krommen ai 1 , ƒ?</, terwijl de singuliere rechte a blijkbaar p-voudige 

 rechte, de singuliere rechte b een g-voudigè lijnis. De oppervlakken 

 (P) en (Q) hebben, in, verband hiermee, de singuliere lijnen s, a, b, 

 a en i? gemeen, en doorsnijden elkaar verder langs de kromme (/), 

 die bij l=PQ behoort. 



4. Daar de rechte / het regelvlak (v*) in p {q -\- 1) punten snijdt, 

 bevat de kromme (/) blijkbaar p (q -j- 1) singuliere nulpunten A*, en 

 dan ook q(p-\-l) singuliere nulpunten B*. 



Verder zijn er (q -4- 1) vlakken door /, die elk een p-voudig nulpunt 

 A% dragen, en dan ook (p -4- 1) vlakken ieder met een g-voudig 

 nulpunt B%. 



TA] nu R een punt buiten de rechte /. Tot de snijpunten van het 

 oppervlak (R) met de kromme (/) behooren vooreerst de pq nulpunten 

 van het vlak IR. Verder de p (q -(- 1) punten A* en de q(p-\- 1) 

 punten B*. De overige gemeenschappelijke punten, ten getale van 



(p.+ gr + iy^ + gr+pj)— P2 -p( ? + l)- ? (p. + l)-d,i.p»(g + l) + 



"4" 't (P + 1)> moeten gelegen zijn in de (e/ -|- 1) punten A% en de 

 (p -4- 1) punten J5.^. Daar a op (P) een p-voudige lijn is, zal elk 

 der (q -4- 1) punten ^4^ een p-voudig punt der kromme (/) moeten 

 wezen. Analoog heeft (/) dan in elk der [p -4- 1) punten B# een 

 g-voudig punt. De kromme ar is ralionaal, zendt dus 2 (p -- 1) raak- 

 vlakken door /. In elk dier raakvlakken vallen twee stralen u samen ; er 

 zijn dus q dubbele nulpunten, zoodal het vlak g-voudig raakvlak van 

 (/) is. Analoog zendt /■?'/ door / 2 (q - 1) raakvlakkon, die p-voudige 

 raakvlakken van de kromme (/) zijn. Daar / door (/) in (/> -f qï 

 punten wordt gesneden, is de rang van (/) gelijk aan 2 (/> - l)J-|- 

 2(, / -l)p + 2(p + v), d.i. 4pr/. ' 



5. Gaan wij na, in hoever de verkregen uitkomsten worden ge- 

 wijzigd, wanneer de stralencongruentie {[ ,q) wordt vervangen door 



