( 21 ) 



• 



De stelling gaat ook door voor een distributie van sommen van 

 vectoren van verschillend aantal dimensies, bv. quaternionen. 



"We zullen zeggen, dat een vectordistributie de potentiaaleigenschap 

 heeft, als haar scalarwaarden voldoen aan de eischen van verdwijnen 

 in 't oneindige, die aan een scalarpotentiaalfunctie in li n moeten ge- 

 steld worden. ') En we zullen in het volgende onderstellen, dat de 

 vectordistributie van uitgang de potentiaaleigensehap bezit. Dan geldt: 



Stelling 4. Een veetordistributie V is door haar totale afgeleide 



der tweede orde Z eenduidig bepaald. 



Immers de scalarwaarden van V zijn elk eenduidig bepaald door 



fscal. Z dv 

 de scalarwaarden van Z, waaruit ze door de operatie I — 



J har»-* 



worden afgeleid. 



Stelling 5. Een veetordistributie is door haar totale afgeleide dei- 

 eerste orde eenduidig bepaald. 



Immers uit de eerste totale afgeleide volgt de tweede, en daaruit 

 volgens de vorige stelling de vector zelf. 



We zullen zeggen, dat een vectordistributie de veldeigenschap heeft, 

 indien de scalarwaarden van de totale afgeleide der eerste orde 

 voldoen aan de eischen, die aan een agensdistributie van een scalar- 

 potentiaalfunctie in R n moeten gesteld worden. En we zullen in 

 het volgende onderstellen, dat de vectordistributie van uitgang de 

 veldeigenschap bezit. Dan geldt : 



Stelling 6. Elke vectordistributie is te beschouwen als een totale 

 afgeleide, m. a. w. elke vectordistributie heeft een potentiaal, en die 

 potentiaal is door haar eenduidig bepaald. 



Bewijs. Zij V de gegeven distributie, dan is : 



WV.dv. 



rvv.dv 



p =- 



haar potentiaal. Immers V 2 P = V V of V (\7P) = V V, of VP= V. 

 Verder volgt uit de veldeigenschap van V, dat P eenduidig bepaald 

 is alsy- 2 van V F, dus als V van V. Duidelijk heeft P de poten- 

 tiaal-eigenschap, de veldeigenschap behoeft ze echter niet te hebben. 

 N.B. Een distributie, die hier buiten beschouwing blijft, omdat 



l ) Gewoonlijk wordt de eisch gesteld, dat de functie moet worden oneindig klein 

 van de n— 2 de orde t. o. v. de afstand tot het eindige. Men kan echter bewijzen 

 dat oneindig klein worden zonder meer voldoende is. 



