( 19 ) 



De bijzonderheid kan zich voordoen, dat een der beide afgeleiden 

 wordt. Is de eerste afgeleide van een '"A r nul, dan zullen we 



spreken van een m _iX; is de tweede nul, van een m +"iX. 



Stelling 2. De eerste afgeleide van een pX is een p p X ; de tweede 



afgeleide een p X ; m. a. w. zoowel het proces van eerste afleiding 

 als dat van tweede afleiding geeft, tweemaal achtereen toegepast, 0. 



Het bewijs is analytisch eenvoudig, maar ook meetkundig blijkt 

 de stelling als volgt : 



Zoek de integraal van de eerste afgeleide van ^A' over een gesloten 

 R p+ \, dan kunnen we de bijdrage, die een Ti^i-element daartoe 

 geeft, vervangen door de integraal van i'X langs de begrenzende R p 

 van dat element. Over de gelieele R p +\ wordt dan elk element van 

 die iü /y -begren zingen tweemaal geteld met tegengestelde indicatrix, 

 zoodat de integraal moet wegvallen. 



Het analoge voor de tweede afgeleide blijkt, als we de integraal 

 van den normaalvector over een gesloten R n — p+ i opmaken. 



Onder totale afgeleide zullen we verstaan de som van de eerste 

 en tweede afgeleide, en de bewerking van totale afleiding voorstellen 

 door tj. 



d* . 



Stelling 3. v 2 = >^, 



duf 



h=\ 



Bewijs. Vooreerst is uit stelling 2 duidelijk, dat de vector r/ 2 weel- 

 een i'X is. Zoeken we dus zijn ontbondene X]2.... p - 

 De eerste afgeleide levert daarvoor de termen 



1 



cp=n 



ar, 



•=£ 



q \-...p 



q—p + 1 



dx q 



dX, 



?l2...(w— !)(« + ])...;; 



waarin 



u=p 



+ teeken voor (uq 12 .. (u— 1) (« + 1 ) ••• p)=(? 1 —P) 



ÖXi2...p 

 dtBq 



2* 



