( 78) 



die de potentiaaleigenschap heeft, d. w. z. die in' 't oneindige O wordt. 

 Nu geldt voor twee scalardistributies het theorema van Green (vgl. 

 Fresdorf diss. Göttingen 1873) : 



r dy r r dip r 



\<p t— dO — I <p S7 2 rp . dr = f ip — dO — I xp w 2 y> . dr 

 J ov J J óv J 



I = | S [grad. <p, gr ad. ip\ dt. 1 . 



Worden nu in 't oneindige <p en tf? beide 0, terwijl tevens 

 Urn. cp \p e lT = 0, dan vallen, als we het theorema van Green toepassen 

 voor een bol met oneindigen straal, de oppervlakte-integralen weg, 

 en we houden : 



I f ■ v s f • dt = I *P ■ V ' 9 ■ dr ' 



geintegreerd over de geheele ruimte. 



Nemen we nu voor <p een willekeurige potentiaalfunctie, en voor 

 ty : — l + coth r, waarin r den afstand voorstelt tot een willekeurig 

 gekozen punt P, dan voldoen deze functies aan de voorwaarden 

 van verdwijnen in 't oneindige en lim. <p xp e- r = 0, zoodat we hebben : 



ijt . <p p = I ( — 1 -f- coth r)\/ 2 <p . dr. 



Stellen we dus — 1 + coth r = F^r), dan hebben we : 



lx = v7 ƒ 



i v 



^-,r^/ox 



Ajt 



FM dr (I) 



VI. We zien nu, dat er geen vectordistributie met de veldeigen- 

 schap bestaat, die in 't eindige nergens rotatie en nergens divergentie 

 heeft. Immers zulk een vectordistributie zou, daar ze nergens rotatie 

 heeft, een potentiaal moeten hebben, maar die potentiaal zou volgens 

 de formule (7) overal moeten zijn, dus ook haar afgeleide vector. 



En hieruit volgt, dat een vectorveld eenduidig is bepaald door haar 

 rotatie en haar divergentie. 



VII. Kunnen we dus elementairdistributies van divergentie en van 

 rotatie aangeven, dan zijn de daarbij behoorende vectorvelden elemen- 

 tairvelden, d. w. z. het willekeurige vectorveld is een willekeurige 

 ruimte-integraal van zulke velden. 



Voor die elementairvelden wordt zoo analoog als in een Euclidische 

 ruimte (zie Verslagen Mei 1906 p. 22 en vlgg.) gevonden: 



1°. een veld E lt waarvan de tweede afgeleide bestaat uit twee gelijke 

 en tegengestelde scalarwaarden vlak bij elkaar. 



