( 87 ) 



zijn in 't eindige gesloten, en worden alle omsloten door den cirkel 

 in 't oneindige als niveau van O-potentiaal. 



Zoo ook voor de willekeurige oX; van de krachtlijnen gaat een 

 deel naar 't oneindige ; de potentiaalniveau's echter zijn in 't eindige 

 gesloten. 



X. Zoeken we nu het veld met alleen rotatie, dat voor gegeven 

 rotatiedistributie een minimumenergie geeft, dan volgt uit een be- 

 schouwing van de rotatie als divergentie van den normaal vector, dat 

 de scalarwaarde van de planivectorpotentiaal in 't oneindige moet 



zijn; en de algemeene *X is samengesteld uit velden E. 2 , afgeleid van 



sin <p 



een planivectorpotentiaal — — (terwijl we onder het postulaat van de 



sh r 



veldeigenschap vonden sin <f coih r). 



In tegenstelling met hoogere hyperbolische ruimten en met alle 



Euclidische en elliptische ruimten, zijn hier de velden E 1 en E^ niet 



te sommeeren tot een enkelen geïsoleerden vector. 



Voor dit veld E„ en evenzoo voor de willekeurige %X zijn de 

 krachtlijnen (tevens planivectorpotentiaalniveau's) in 't eindige ge- 

 sloten krommen. 



XI. We hebben nu gevonden : 



-'S 



I ■ \2 / qX 



qX - \i/ AZ l coth | r dr 



2jz 



1 r \y lx 



2 X = "v X/ l coth 1 r dr. 



2 



En hieruit volgt, dat ook de algemeene vectordistributie X, die 

 voor gegeven rotatie en divergentie een minimum-energie heeft, is 

 gelijk aan: 



JsJ/X r \T7X 



-%— l coth 1 r dr -\ W Af__ l co th i r dr. 

 2jt 'J 2.t 



Immers zij V een willekeurige distributie zonder divergentie en 

 zonder rotatie in 't eindige, dan is zij afgeleid van een scalarpoten- 

 tiaalfunetie, dus heeft zij (volgens § VIII) geen wederkeerige energie 

 met Xdi .\ en evenmin (daar volgens § IX alle krachtlijnen van J roji 

 in 't eindige gesloten krommen zijn, en een flux van uitsluitend 

 gesloten vectorbuizen geen wederkeerige energie heeft met een gra- 



