( 212 ) 



voor 42 de vergelijking 



A(p l *+pS)+BpS+2Cp z p e +Dp 6 *+E(pS+p s *)+2F(p lP -p i p 4 )=().(l) 

 Is C=0, dan verandert (1) niet, als men te door — x vervangt; 



men heeft dan een symmetrischen complex. 

 De stralencoördinaten 



q l =u — u' , q 3 = 'v — v' , q % = ie — w' , 



(7 4 =r ra>' — uw' , <7 5 = wu' — uw' , ^j =r uv' — vu' , 



waar u, v en zt; de coördinaten van een vlak voorstellen, zijn met 

 de coördinaten p verbonden door de bekende betrekkingen 



Pi '■ <!< =P* • ?5 = Pa : ?e =?4 : ?i =P 5 : ? 2 =P6 : ?3- 



Dus kan Si ook voorgesteld worden door 

 % 1 ! +'A , )+% ! +2C M „+5 ? ; + %H ?s ') + 2% ! , ?( - (? , ?s )=:0. . (2) 



Deze vergelijking ontstaat uit (1) door verwisseling van p^ met q^, 

 en van A, B, C, D, E, F met E, D, C, B, A, — F. 



§ 2. De complexkegel van het punt (oc', y', z') heeft tot vergelijking 

 A{x _x r+ A(y-yy + B(z-zr+2C(y'.v- a: 'y)(z-z')+I)(y'x-.v'yy + 

 + E(z'y-y'zy+E(z'z-a ; 'zy + 2F{ l v-.v%v'z-z'x) + 2F(y-y')( y 'z-z'y)=Q.(3) 

 Om de vegelijking van het singuliere oppervlak te vinden, be- 

 schouwen we de complexkegels, waarvan de toppen in XOZ liggen, 

 en schrijven de voorwaarde neer welke uitdrukt dat de doorsnede 

 van zulk een kegel met XOY in twee rechten ontaardt. Na afzon- 

 dering van den te verwerpen factor 2% en vervanging van x* door 

 gfl _j_ yi — r i^ verkrijgt men de vergelijking 



D(AE - F 2 ) r A + (AE +BD—C — F 2 ) r* (Ez* — 2Fz -f A) + 



-\-B(Ez* — 2Fz4-A)* = f4) 



Daar deze ontbonden kan worden in twee factoren van den vorm 

 Lr* -f- M (Ez* — 2Fz -)- A), bestaat het singuliere oppervlak -S uit twee 

 quadratische omioentelingsoppervlakken. 



Deze raken elkaar in de cyclische punten /, en / 3 van het vlak 

 XOY en in de punten B l en B, op OZ, die bepaald worden door 



Ez* — 2Fz + A = 0. 

 De beide oppervlakken snijden elkaar volgens de vier isotrope 

 rechten, welke door de vergelijkingen 



.r 2 + y* = en Ez % — 2Fz -f A = . . . . (5) 

 worden aangewezen. 



Is Si symmetrisch (6' =0), dan hebben de beide deelen van het 

 singuliere oppervlak tot vergelijkingen 



(AE-F°-)(x' + y*) + B(Ez*-2Fz + A) = 0, . . (6) 



D (.?' + y*) + Ez 1 — 2Fz + A — (7) 



Heeft men i> = en D = 0, dan ontaardt .S in de vier vlakken 

 (5), en is SI een bijzondere tetraedrale complex. 



