( 213 T ) 



Uit (3) wordt gemakkelijk gevonden dat de complexkegels der 

 punten B x , B lt I x en Z, in dubbel te tellen stralenbundels ontaarden. 

 Deze punten zullen bisingulier genoemd worden. 



§ 3. De complexstralen, die op een rechte / rusten, raken aan 

 een oppervlak, dat de meetkundige plaats is van de toppen der 

 complexkegels welke door / worden aangeraakt. Dit axiale oppervlak 

 is in iet algemeen van den vierden graad en de vierde klasse, en 

 bezit acht dubbelpunten 1 ). 



Wij zullen het axiale oppervlak van OZ bepalen. De snijpunten 

 (0, 0, z') van een willekeurigen complexkegel met OZ worden aan- 

 gewezen door de vergelijking 



\E{x* + f) + B] z 1 * - 2 [F («■ + y«) + Bz] z' + [A («« + f) ± Bz^ = 0. 



Deze heeft twee gelijke wortels, als voldaan is aan 



{(AE - F"-) («■ + y') + B (Ez> - 2 Fz + A)\ («■ 'f f ) = . (8) 



Het axiale oppervlak van OZ bestaat dus uit de twee isotrope 

 vlakken door de as en een qnadratisch omwentelingsoppervlak, dat 

 men het meridiaanoppervlak zou kunnen noemen. Is £2 symmetrisch, 

 dan maakt het, zooals uit (6) blijkt, deel uit van het singuliere 

 oppervlak. 



Ook het axiale oppervlak der oneindig ver in XOY gelegen rechte 

 lx, ontaardt in twee vlakken en een qnadratisch oppervlak. Men 

 vindt zijn vergelijking het gemakkelijkst door de beschouwing van 

 de complexstralen loodrecht op XOZ. Uit x = x', z = z' volgt 

 p x = 0, p 3 = 0, p 4 = zp 3 , p 5 = 0, p e = — xp 3 . Door substitutie in 

 (1) vindt men 



(A + Dx' + Ez* - 2 Fz) P S = 0, 

 en hieruit voor het bedoelde oppervlak 



D {.V + y») + Ez* — 2 Fz 4 A — . . . . (9) 



Voor den symmetrischen complex is dit paralleloppervlak, blijkens 

 (7), het tweede blad van het singuliere oppervlak. 



De vlakken der stralenbundels van de bisinguliere punten B 1 , B ï 

 vormen het ontbrekende bestanddeel van het axiale oppervlak van 

 /co. Men kan dit aantoonen door de vergelijking te bepalen van het 

 axiale oppervlak der rechte z' = 0, y' — b, en daarin b = co te 

 stellen. Men vindt dan 



(Ez 2 — 2Fz+A) \D (.v* + y') + Ez 3 — 2 Fz -f A] = . (10) 



Het meridiaanoppervlak, het paralleloppervlak en de beide deelen 



] ) Stïrm, IAniengeometrie III, p. 3 en 6. 



