( 294 ) 



1885) geven als elementairgradientenyeld de afgeleide van de poten- 



r dr 



tiaalfunctie I — : — = v„ 



J sin" -1 r 



(r). 1 



Maar de afgeleide van dit veld bestaat uit twee gelijke en tegen- 

 gestelde divergenties in twee tegenpunten; en het is duidelijk, dat 

 een willekeurige integraal van zulke velden steeds in de tegenpunten 

 gelijke en tegengestelde divergenties behoudt, dus niet de algemeene 

 divergentiedistributie, die alleen gebonden is aan een totale diver- 

 gentiesom = 0, kan geven. 



II. Passen we bij een sferische P„ het theorema van Green toe 

 over de geheele ruimte (d.w.z. over de beide helften, waarin zij door 

 een willekeurige gesloten K„_i verdeeld wordt, te zamen), en wel 

 voor een scalarfunctie (f, die we onderstellen dat nergens divergentie 

 heeft, en een scalarfunctie, die alleen in twee willekeurige punten 

 P; en P 2 gelijke en tegengestelde divergenties heeft en verder 

 nergens (zulke functies zullen we in het volgende afleiden), dan 

 vinden we : 



m. a. w. (f is een constante, daar de punten P, en P 3 willekeurig 

 zijn gekozen. 



Er is dus geen oA' mogelijk, die nergens divergentie heeft, dus 

 geen l X, die nergens rotatie en nergens divergentie heeft, en hieruit 

 volgt : 



Een lijnvectordistributie in een sferische R n is door haar rotatie 

 en haar divergentie eenduidig bepaald. 



III. De algemeene vectordistributie in een sferische R„ moet dus 

 weer zijn te verkrijgen als willekeurige integraal van : 



1°. velden E lt waarvan de tweede afgeleide bestaat uit twee 

 gelijke en tegengestelde scalarwaarden vlak bij elkaar. 



2°. velden P a , waarvan de eerste afgeleide bestaat uit in de punten 

 van een n ~ 2 bolletje en loodrecht op dat "~ 2 bolletje gelijkmatig ge- 

 distribueerde plani vectoren. 



Op eindigen afstand van hun oorsprong zijn ook hier weer de 

 velden E t en E, identiek gebouwd. 



IV. Voor de sferische P, bestaat nu een eenvoudig middel om 



~) De ruimteconstante stellen we weer, evenals bij de hyperbolische ruimten = 1 . 



