( 344) 



Deze snijdende nodale takken komen slechts voor indien </ 3 >• 1. 

 Is r ^> 1 dan moeten de coëfficiënten b en c aan bijzondere voor- 

 waarden voldoen. Is r = 1 dan gaan door het cyclisch punt (re, r, ??i) 

 der keerkromme, of q 3 : 2, of ((7, — 1) : 2 dezer nodale snijdende 

 takken. Alle snijdende nodale takken bezitten een gemeenschappelijke 

 raaklijn gelegen in het vlak z = 0, zoowel voor r = 1 als voor r^>l. 



§ 5. Het voorbeeld van een gewoon stationnair punt ;ï (2,1,1) 

 toont aan, dat door een cyclisch punt van de keerkromme, nodale 

 takken kunnen gaan, welke dezelfde raaklijn maar niet hetzelfde 

 osculatievlak bezitten als de keerkromme. Deze bijzondere nodale 

 takken komen slechts voor indien q t ^>l. Is q t ^> 1 en m = l dan 

 komen deze bijzondere nodale takken steeds voor. Is q t ^> 1 en ook 

 m ^> 1 dan moeten de coëfficiënten b en c aan bijzondere voorwaarden 

 voldoen. Deze bijzondere nodale takken hebben in 'het cyclisch punt 

 {n, r, m) een gemeenschappelijk osculatievlak (verschillend van het 

 vlak z = 0). 



§ 6. De raaklijn aan C in het cyclisch punt (n, r, m) is een r- 

 voudige beschrijvende g op het ontwikkelbaar regelvlak O. De r 

 bladen van het oppervlak O welke door de beschrijvende g gaan 

 raken alle aan het osculatievlak z = van C in het punt (n, r, m). 



De beschrijvende g ontmoet nog in q — (n -f- 2 r -\- m) punten R 

 een blad van het oppervlak O, als O is van den graad q. 



In ieder punt R ontmoet g r takken van de knoopkromme. Deze 

 /• takken vormen, indien m^>r een singulariteit (r, r, m — r) en 

 het osculatievlak van deze nodale takken is het raakvlak van O 

 langs g. 



Indien m <^ r vormen deze r nodale takken een singulariteit 

 {r, m, r — m) en het osculatievlak dezer r nodale takken is het 

 raakvlak van O langs de g in R snijdende beschrijvende. 



Indien r = m vormen deze r nodale takken een singulariteit (r, r, 1). 



§ 7. In 't algemeen zal de singuliere beschrijvende g alleen nodale 

 lakken ontmoeten in het cyclisch punt (n, r, m) en in de punten R. 

 Indien q, 2 ^> 1 dan kan het gebeuren dat g nog ontmoet nodale 

 takken, die ontstaan, doordat eenige der r bladen, die elkaar volgens 

 g raken, elkaar doordringen. Deze nodale takken ontmoeten g in 

 het zelfde punt Q. Is q, ^> 1 en n = 1 dan bestaat er altijd een 

 zoodanig ontmoetingspunt Q. Is q 2 ^> 1 en n ^> 1 dan moeten de 

 coëfficiënten b en c aan bijzondere voorwaarden voldoen, willen de 

 bladen die door g gaan elkaar doordringen. 



