( 419 ) 



twee takken door P', zoodat P' eveneens dubbelpunt van M is. De 

 door P gaande krommen der bundels hebben nu nog slechts êén 

 ander gemeenschappelijk punt P', maar nu doet zich de bijzonderheid 

 voor, dat men P of P' op twee wijzen zoo verplaatsen kan, dat het 

 andere gemeenschappelijke punt behouden blijft. PP' is dan dus als 

 een dubbel correspondeerend puntenpaar op te vatten. 



Heeft men nu omgekeerd een puntentripel PP'P", dat op krommen 

 van ieder der bundels ligt, dan is P een dubbelpunt van M, daar 

 met P zoowel P' als P" correspondeert en het dus mogelijk moet 

 zijn P zoo te verplaatsen, dat het correspondeerende punt een door 

 P' gaanden tak beschrijft, en zoo dat een door P" gaande tak 

 beschreven wordt. De kromme M heeft dus twee door P gaande 

 takken PI en P2, waarmede de takken P'1 en P"2 correspon- 

 deeren. Door het punt P' (dat natuurlijk eveneens dubbelpunt van 

 M is, evenals P") gaat nog een tweede tak P'3 en door P" een 

 tweede tak P'3, welke takken onderling correspondeeren. Doorloopt 

 een punt Q den tak PI, dan hebben de door Q gaande krommen 

 O-, C s , C t nog een tweede gemeenschappelijk punt, dat den tak P'1 

 beschrijft, terwijl er nog een derde gemeenschappelijk punt P" ont- 

 staat en weer verdwijnt als Q het punt P passeert. Dit derde gemeen- 

 schappelijke punt verplaatst zich (en wel langs den tak P"2) als Q 

 den anderen door P gaanden tak doorloopt, terwijl dan juist het in 

 P' vallende gemeenschappelijke punt ontstaat en verdwijnt. 



Puntentripels PP'P", en dus ook buiten de basispunten vallende 

 dubbelpunten van M, zullen aanwezig zijn, daar een puntentripel 

 van 6 parameters afhangt en het een 6-voudige voorwaarde is, dat 

 er een kromme van ieder der bundels door gaat. Men heeft dus : 



De kromme M heeft buiten de basispunten der bundels dubbelpunten, 

 die drie aan drie bij elkaar behoor en en de puntentripels vormen, 

 waardoor een kromme van ieder der bundels mogelijk is. Met den 

 eenen of den anderen tak door een dubbelpunt van zulk een drietal 

 correspondeert een tak door het tweede resp. het derde dubbelpunt van 

 dit drietal. 



Bovendien kan M echter nog paren van dubbelpunten bezitten, die 

 de dubbele correspondeerende puntenparen aanwijzen. Met de beide 

 takken door een dubbelpunt van zulk een paar correspondeeren de 

 takken door het andere dubbelpunt van het paar. 



6. Het aantal coïncidenties der correspondentie tusschen P en P' 

 laat zich als volgt bepalen. De punten P en P' vallen samen als de 

 door P gaande krommen C r , C s en C\ in P dezelfde raaklijn hebben. 

 P moet dan liggen zoowel op de aanrakingskromme R rs der bundels 



