( 420 ) 



(C r ) en (C s ) als op de aanrakingskromme R rt van (C,) en (Cf)- Het 

 aantal snijpunten dier aanrakingskrommen, die van den graad 

 2r -|- 2a' — 3 resp. 2r -\- 2t - 3 zijn, bedraagt 

 (2r + 2s - 3) (2r + 2< — 3). 



Sommige dezer snijpunten liggen echter niet op de derde aan- 

 rakingskromme R st en moeten dus niet medegeteld worden. De 

 kromme R rs gaat nl. éénmaal door een basispunt A r of A s en drie- 

 maal door een gemeenschappelijk basispunt A rs of A rst ; immers in 

 een punt van R rs vallen twee beweeglijke snijpunten van C r en C s 

 samen, zoodat het punt A rs als punt der aanrakingskromme wordt 

 opgeleverd als C r en C s in A rs een aanraking van de 2 de orde ver- 

 toonen, hetgeen driemaal gebeurt. Verder gaat R rs door de dubbel- 

 punten der krommen C r en C s , waarvan het aantal voor den bundel 

 (C r ) 3(r — l) 3 en voor den bundel (Cï„) 3(s — IV bedraagt, zooals 

 onmiddellijk uit den graad van den discriminant volgt. 



Ieder der ?- 2 — /?' — y' — ó punten A T is enkelvoudig snijpunt van 

 R rs en R rt (enkelvoudig, daar de raaklijnen in A r aan R rs en R H 

 de raaklijnen der door A r gaande krommen C s en C t zijn en dus in 

 het algemeen verschillen), echter geen punt van R st . Ieder der a' 

 punten A st is een dubbel snijpunt van R rs en R rt , daar die aan- 

 rakingskrommen in A st een enkelvoudig punt hebben met dezelfde 

 raaklijn, nl. die der door A st gaande C r ; deze punten zijn ook punten 

 van R st en wel drievoudige. Ieder der /? punten A rt is drievoudig 

 snijpunt van R rs en R rt (daar het enkelvoudig punt van R TS en 

 drievoudig punt van R rt is) en ligt tevens op R st ; hetzelfde geldt 

 voor de y' punten A 1S ■ Ieder der ó punten A rs t, die basispunten dei- 

 drie bundels zijn, is 9-voudig snijpunt van R rs en R rt , daar het van 

 ieder dier krommen een 3-voudig punt is; tevens is het drievoudig 

 punt van R st . Eindelijk zijn de 3(?' — l) a dubbelpunten van den 

 bundel (C r ) enkelvoudige snijpunten van R rs en R H , echter geen 

 punten van R st ; van de door zulk een dubbelpunt gaande krommen 

 C r , C s en Ct voert wel C r aan C s en aan C t een oneigenlijke aan- 

 raking uit, zonder dat evenwel C s en Ct elkaar aanraken. 



Hieruit ziet men, dat de aanrakingskrommen R rs en R rt 

 r* — ? — r' — d -f 3 (r — l) 5 = 4r 2 — 6r -f 3 — ,'J' — y' — ó 



snijpunten hebben, die geen punten van R st zijn, en dus geen samen- 

 vallende punten P en P' opleveren. Bovendien hebben R rs en R rt 



2«' + 3jï' + 3y' -f- 9ö 



in de gemeenschappelijke basispunten vallende snijpunten, die wel 

 op R s t liggen, maar toch geen samenvallende punten P en P' op- 

 leveren, doordat daarvoor noodig is dat van drie door een zelfde 



