( 421 ) 



punt gaande krommen C,, C» en C, ieder tweetal twee in dat punt 

 vallende beweeglijke snijpunten vertoont. Voor het aantal samen- 

 vallende punten P en P' blijft derhalve over: 



(2r -f 2s — 3) (2r -f 2t — 3) — (4r* — 6r -f 3 — §1 — y' — d) — 



— (2«' + 30' + 3/ + 9rf) = 

 = 4(s< + ir + rs) — 6(r -f s -f t) + 6 — 2 («' + 0' -f y' + 4d). 

 We vinden dus : 

 Het gebeurt 



4(st -f ir + rs) - 6(r + « -J- t) + 6 - 2(« + + y + d) 



rraaaZ, ctó efe beide punten P en P', waardoor een kromme van ieder 

 der bundels mogelijk is, samenvallen. 



7. Met behulp van dit resultaat laat zich de klasse der omhullende 

 van de verbindingslijnen PP' gemakkelijk bepalen. Daartoe heeft 

 men te tellen hoeveel rechten PP' door een willekeurig punt S gaan. 

 Dit aantal vindt men door de correspondentie tusschen de stralen 

 SP en SP' te beschouwen, die we l en l' noemen. Dit is een invo- 

 lutorische (n, rc)-correspondentie, waarin n de graad van de meetkundige 

 plaats M der punten P en P' voorstelt ; immers op een willekeurigen 

 straal / (of l') liggen n punten P (of P'), met ieder waarvan één 

 punt P' (of P) correspondeert. Er zijn dus 2n coincidentiestralen, 

 die daardoor kunnen worden opgeleverd, dat PP' door *S gaat, of 

 daardoor dat P en P' samenvallen. 



Voor het aantal coincidentiestralen, waarbij PP' door S gaat, 

 vindt men dus: 



2 [B(rsf |l)-2(r + s + «)- (ar -f 0s + yt)\ — \i(st + tr + rs) — 

 — 6(r + s -f *) + 6 — 2 (a + -f y + rf)} = 6rs« - 4 (s* + ir .+ rs) + 

 + 2 (r -f s -f i) - 2a (r — 1) — 20 (s — 1) - 2y [t — 1) + 2tf. 



Deze coincidentiestralen vallen echter twee aan twee samen. Immers 

 gaat de verbindingslijn der correspondeerende punten P, en P t ' 

 door S, dan komen met P 1 P 1 ', als lijn / beschouwd, n lijnen /' over- 

 een, waarvan er twee met P X P^ samenvallen, daar als men het 

 punt P van / in P l of in P/ kiest het correspondeerende punt P' 

 in Pj' resp. P x komt. Evenzoo komen met P 1 P l ', als lijn l' beschouwd, 

 n lijnen /' overeen, waarvan er eveneens twee met P 1 P 1 ' samenvallen, 

 waaruit volgt, dat P r P^ een dubbele coincidentiestraal is 1 ). Om het 



l ) Van de juistheid dezer gevolgtrekking kan men zich gemakkelijk overtuigen 

 door de correspondentie tusschen de stralen SP en SP' in beeld te brengen. 

 Daartoe beschouwen we de parameters der rechten SP en SP' als rechthoekige 



