( 423 ) 



"Wiskunde. — De Heer J. C. Kluyver biedt een mededeeling aan: 

 „Eenige formules aangaande de getallen kleiner dan n en 

 ondeelbaar met n." 



Het aantal <p (n) van de getallen v kleiner dan n en ondeelbaar 

 met n kan door middel van de deelers d worden uitgedrukt. 

 Men heeft 



(f (n) = 2 (i (cl) d', (dd' = n) 



d/n 



indien men door p (q) aanduidt de rekenkundige functie, die gelijk 

 is aan nul, als q deelbaar is door een kwadraat, en die overigens 

 gelijk is aan -4- '1 of — 1, naargelang q het product is van een even 

 of van een oneven aantal priemgetallen. 



Deze vergelijking is een bijzonder geval van eene meer algemeene, 

 met behulp waarvan zekere svinmetrische functies van de getallen 

 v uitgedrukt kunnen worden door de deelers d. 



Deze algemeene betrekking kan geschreven worden als volgt ') 



2f(v) = 2(i(d)2f(kd). 



djn k=\ 



Voor het bewijs heeft men op te merken, dat in de onderstelling 

 {rn, n) — D de term /(m) in bet rechter lid zoo dikwijls voorkomt, 

 als d een deeler is van D. Daarom wordt de totale coëfficiënt van 

 den term f (in) in het rechterlid gelijk aan 



2 ii (d), 



d\D 



en deze som is nul voor D grooter dan één, en gelijk aan één, 

 wanneer m gelijk is aan een der getallen v. 



Van deze vergelijking van Kronecker zullen eenige eenvoudige 

 gevallen worden beschouwd. 



Laat vooreerst zijn 



f(y)-=M, 



De vergelijking wordt 



k=d' gxn X 



2 e"= 2 ( j,{d)2 e*M = 2 p (d) ««* — -, 



d/n ' fc=l d/n e xd — 1 



of omdat 



2 (i(d) =z 

 d/n 



is, 



e xn _ l 



2 é* = 2 (i(d) 



d/n 



e xd — d 



l ) Kronecker, Vorlesüngen über Zahlentheorie. I, p. 251. 



