(425 ) 

 2 cos 2nxv = \ sin 2nxn 2 ft (d) cot jt.vd, 



v d/n 



2 sin 2jt.vv = sm' nxn 2 ft (d) cot Jtxd. 



v djn 



In het bijzonder geeft de eerste dezer vergelijkingen eene eenvou 



dige uitkomst, als men x = \- e stelt, waar e is eene tot nul 



n 



naderende grootheid. 



Daar de factor sm Inxn tegelijk met s tot nul nadert, wordt het 



geheele rechter lid nul op den term na, waarin d = n. Op deze 



wijze komt er 



2jtv 



2 COS = ft (il), 



v n 



en men heeft de functie \i{ii), die oorspronkelijk alleen afhing van 



de ondeelbare factoren van n, uitgedrukt als een functie van de 



getallen ondeelbaar met n. 



Op eene dergelijke wijze kan men in de tweede vergelijking stellen 



1 

 x = — , waardoor gevonden wordt 

 Zn 



sin jtv Jid 



2 = 2 ft (d) cot — . 



n djn 2n 



Nog eene andere goniometrische formule wordt verkregen uit de 



q 



cosinus-betrekking door de substitutie x= \- e. Laat D de grootste 



n 



gemeene deeler zijn van de getallen n en q, zoodat men heeft 

 n — » D , q = q D. 



In het rechterlid zijn dan, wanneer e tot nul nadert, alleen die 

 termen te behouden, in welke qd deelbaar is door n, of wat het- 

 zelfde is, die termen voor welke de complementaire deeler d' deel- 

 baar is op D. 



Men heeft dus 



2nqv ( n \ 1 



2 cos — ï- = 2p[ — )ce = D2ti (n d) — . (dd' = D) 

 n d'ID \d J djD d 



In plaats van hier de sommatie uit te strekken over alle deelers 



d van D, is het voldoende alleen in aanmerking te nemen die 



deelers 6 van n, die ondeelbaar zijn met n„. Aldus vindt men 



D 2 ft (n a d) -j — (i O ) D 2 ft (d) — , 

 d/D d $ o 



en daar het rechterlid blijkbaar herleid kan worden tot 



<p{n) (u\ (p(n) 



f n n o) V-D/ 



9 \D 



