periodischer Naturerscheinungen. 61 
8. Wenden wir diese bewiesenen Summenformeln auf die im $. 6 angeführten Gleichungen an, so 
haben wir zuerst: 
X sin rmz=sinrz + sin ?rz—+ ...+ sin(n— 1) rz. 
Aus der Gleichung (3) hat man aber für g=rz und e=n—1: 
1 1 
c08 „73 — c08 M—;)r3 
X sin rmz = ; 
2 sin — r3 
27 
Da nun nach $. 6 
x 
= 
nz = ?r, also (n zur =%ır—z 
P} b2 
„mithin 
1 1% 
(n—) r2—= ar — 5 
und da r immer eine ganze positive Zahl: 
1 1% 
cos (n —z) 13608, 
re x sin rmz =. 
Aus der Formel ($’) hat man: 
r 1 Ba. A 1 = 
sin (n— 5) 73 + sin 513 sin (2rz — 72) + sing rz 
Zcosrmz = z en n A 
2 sin — T3 2 sin —T3 
P) 2 
also 
Y cos rmz =. 
Es ist ferner 
E (sin rm)’=(sin rz)’-+ (sin 2rz)’ +... + [sin (n— 1) re]”. 
Nun ist bekanntlich (sin rz)’ = = = & cos Arz 
(sin ?rz)’ = = _ 4 cos Arz 
[sin (na — 1) rz]’ = art — eos 2 (n— Drz, 
demnach % (sin rmz)? = — == = [eos2rz + cos 4rz+ ... + eos? (n—1) rz]- 
Nach der Formel («’) ist aber für p=g=?rz, und p+ge=? (n—1) rz, 
auch xz=n—?, also auch +5) =? Mrz, 
und Pp+@+ 91-2 a rz—Arr — rz, da nz=?r, 
FR in [Arz — r3] — si 
mithin cos rc + cosärz+...+ 0052 (m — Dr, rel" een: 
demnach % (sin rmz)? = 4 4-4 ; 
J 
Eben so ist 
E (eosrmz)’=1+ (eos rz)’ + (eos Irz)’ +... —+ [eos (n — Nrz] 
ne 
