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Begründung 
eines 
eigenthümlichen Rechnungsmechanismus zur Bestimmung der reellen Wurzeln 
der Gleichungen mit numerischen Coöflicienten. 
Von Fr. Moth D) 
correspondirendem Mitgliede der kais. Akademie der Wissenschaften. 
(Vorgelegt in der Sitzung der mathematisch - naturwissenschaftlichen Classe am 8. Juni 1848.) 
Die Auflösung einer grossen Anzahl Probleme der reinen Mathematik und der mathematischen Physik 
ist in letzter Instanz von der Bestimmung der Werthe der Wurzeln einer Gleichung abhängig. Ist 
diese Gleichung vom ersten Grade, so bedarf man, um zur Kenntniss ihrer Wurzeln zu gelangen, 
nur der rationalen Operationen. Dieselben aber reichen im Allgemeinen nicht mehr hin, sobald die 
Gleichung den ersten Grad übersteigt. In diesem Falle muss zu den Operationen des Addirens, Sub- 
trahirens, Multiplieirens und Dividirens die Operation der Radieation (Wurzelausziehung) hinzutreten. 
Indessen sind es unter den Gleichungen höherer Grade nur die des zweiten, dritten und vierten Gra- 
des, deren Wurzeln sieh mittelst der gedachten fünf Operationen aus den Coöfficienten der Gleichung 
herleiten lassen; während die Wurzeln der Gleichungen höherer Grade, sobald sie den vierten über- 
steigen, im Allgemeinen nicht auf die Art, wie bei den Gleichungen der genannten Grade, durch eine 
geschlossene Formel, in der die Coöflicienten der Gleichung durch die rationalen und irrationalen Ope- 
rationen unter sich verknüpft wären, darstellbar sind, wie diess schon Ruffini und Abel zu zeigen 
suchten. Aber selbst unter der Voraussetzung der Möglichkeit einer allgemeinen Auflösung der Glei- 
ehungen eines jeden Grades in dem Sinne, in welchem man dergleichen Auflösungen für Gleichungen 
bis zum vierten Grade besitzt, wird man wohl in den seltensten Fällen, und etwa nur mit Ausnahme 
der quadratischen, von einer solehen mit Vortheil Gebrauch machen können, um zur Kenntniss der 
Wurzeln dieser Gleichungen zu gelangen. Ungleichwichtiger für die Anwendung sind daher jene Me- 
thoden, welche die Werthe der Wurzeln annäherungsweise bestimmen lehren. Soll aber eine solche 
Methode an die Stelle einer strengen Auflösung der Gleichung treten können, so muss dieselbe nicht 
bloss jeden möglichen Grad der Genauigkeit erreichbar machen; es ist auch noch nothwendig, dass 
man sichere Kennzeichen zur Beurtheilung des jedesmal erreichten Grades dieser Genauigkeit besitze. 
Die von Fourier vervollkommnete lineare Annäherungsmethode, welche zuerst von Newton in min- 
der vollkommnerer Form angewandt worden ist, die reellen Wurzeln der Gleichungen mit numerischen 
Coöffieienten zu erhalten, entspricht nieht nur jenen Forderungen, sondern empfiehlt sich auch durch 
Einfachheit des zu führenden Caleüls. Kennt man nemlich den Werth einer reellen Wurzel einer gege- 
benen Gleichung mit numerischen Coöfficienten bis zu einem bekannten Grade der Genauigkeit, alsdann 
liefert eine zwei- oder mehrmal wiederholte Anwendung der Operationen, welche die genannte Methode 
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