106 Fr. Moth. Auflösung der Gleichungen 
vorschreibt, immer mehr und mehr Stellen von dem in Decimalbruchform ausgedrückten Werthe der 
Wurzel, die dem wahren Werthe angehören, wobei die Menge dieser Stellen mit der Anzahl dieser 
Wiederholungen in einer geometrischen Progression wächst und zugleich über den erlangten Grad der 
Genauigkeit der Wurzel mit befriedigender Vollständigkeit Rechenschaft gegeben werden kann. Nach 
dem gegenwärtigen Stand der Theorie der Gleichungen mit numerischen Coöflieienten zerfällt deren Auf- 
lösung in zwei wesentlich von einander verschiedene Theile, deren einer sich mit der Trennung der 
Wurzeln einer Gleichung, der andere aber mit der numerischen Berechnung der getrennten Wurzeln 
beschäftigt. Die von Sturm, Fourier und Cauchy entdeckten Lehrsätze setzen uns in den Stand, 
in jedem besonderen Falle einer Gleichung mit numerischen Coöfhieienten, sofern dieselben nur reelle 
Zahlen sind, folgende Fragen entscheidend zu erledigen: Hat eine vorgelegte Gleichung reelle Wurzeln 
oder besitzt sie keine derselben? Wenn reelle Wurzeln vorhanden sind, wie gross ist die Menge dersel- 
ben? Zwischen welchen Grenzen liegen diese reellen Wurzeln insgesammt, und zwischen welchen jede 
einzelne von ihnen ? Welche sind nämlich die einzelnen Intervalle, die so beschaffen sind, dass jedes 
von ihnen nur eine einzige Wurzel enthalte? Da man übrigens die Mittel kennt, die Auflösung einer 
Gleichung, wenn solche vielfache Wurzeln besitzt, von der Auflösung einer andern abhängig zu machen, 
deren sämmtliche Wurzeln nur einfache sind, so sieht man sich mittelst der erwähnten Lehrsätze in den 
Stand gesetzt, die reellen Wurzeln einer Gleichung dergestalt von einander zu trennen, dass für jede 
aus ihnen zwei Grenzwerthe angegeben werden können, zwischen denen nicht mehr Wurzeln liegen, als 
eben nur diese eine. Bezüglich der reellen Wurzeln einer Gleichung ist daher der erste Theil der Aufgabe 
von der Auflösung der Gleichungen mit numerischen Coöffieienten als vollständig gelöst zu betrachten. 
Kennt man nun zwei Grenzen, zwischen welchen eine reelle Wurzel einer bestimmten Gleichung 
liegt, und ist man versichert, dass in diesem Intervalle keine andere Wurzel dieser Gleichung mehr 
liegt ; alsdann ist es noch erforderlich, Werthe zu bestimmen, denen sich die Wurzel immer mehr und 
mehr nähert, um zur Kenntniss aller Ziffern zu kommen, durch welche dieselbe ausgedrückt wird, wenn 
die Anzahl dieser Ziffern begrenzt ist, oder doch so viele genaue Ziffern, als man will zu finden, d.h. 
es ist erforderlich, den Werth der Wurzel annäherungsweise zu berechnen. Dieser Zweck kann durch ver- 
schiedene, mehr oder weniger weitläufige Rechnungen erfordernde Verfahrungsarten erreicht werden. Ein 
erstes Mittel bietet die bereits erwähnte Newton’sche oder lineare Annäherungsmethode dar. In seinem 
berühmten Werke über die Auflösung der numerischen Gleichungen hat Lagrange bereits angezeigt, 
dass diese Methode in der Form, wie sie von Newton gegeben worden ist, unvollständig sei, indem 
sie kein Merkmal darbietet, woran sich die Richtigkeit der Annäherung jedesmal mit Gewissheit er- 
kennen lasse, und hat hinzugefügt, dass es sehr schwer, vielleicht selbst unmöglich sei a priori ein 
Merkmal zu finden, wornach sich beurtheilen liesse, ob die Bedingung der Convergenz der Operation 
erfüllt sei oder nicht. Diese wichtige Frage ist jetzt durch Fourier’s Bemühungen vollständig gelöst, 
so dass die lineare Approximation immer anwendbar ist und eine vollständige Kenntniss des gesuchten 
Werthes einer reellen Wurzel erreichen hilft. Diesem Geometer verdanken wir aber nicht bloss diese 
wichtige Vervollkommnung der Newton’schen Methode; er bereicherte die Wissenschaft auch durch 
bedeutende Verbesserungen an dem numerischen Caleül, welchen die Bestimmung der reellen Wurzel 
fordert. Allein! dieser Vorzüge ungeachtet trägt, wie ihr Vorbild, die Newton’sche, auch diese 
Fourier’sche in so fern noch nicht das Gepräge der Vollkommenheit an sich, indem diese, wie jene, 
bereits auf einen gewissen Grad genäherte Grenzwerthe voraussetzt, um sogleich zur Anwendung des 
approximativen Verfahrens fortschreiten zu können. Diess wird nämlich nur dann der Fall sein können, 
wenn für die beiden Grenzwerthe a, 5 einer Wurzel der Gleichung, die wir mit f(&) = 0 vor- 
stellig machen wollen, noch die besondere Bedingung: erfüllt ist, dass, während diese Gleichung zwi- 
schen « und 5 nur eine reelle Wurzel liegen hat, die beiden Gleiehungen f’ (2) = 0 und f"’ (2) = 0 
in eben demselben Intervall keine Wurzel haben. Man muss daher, wenn dies noch nicht der Fall 
