mit numerischen Coöffieienten. 107 
wäre, das Intervall @..5 so lange durch eine oder mehrere Mittelwerthe theilen, bis man zu zwei 
Grenzwerthen gelangt, für welche die erwähnten Bedingungen erfüllt sind. Von diesen aus beginnt 
hierauf das geregelte Verfahren der approximaliven Bestimmung der in diesem Intervall liegenden reel- 
len Wurzel. Diesem Uebelstande ist von Cauchy durch zwei allgemeine Methoden, deren eine am 
22. und 29. Mai 1837, und deren andere am 4. September desselben Jahres der Akademie der Wis- 
senschaften zu Paris vorgelegt worden ist, begegnet worden, indem durch deren Anwendung aus je 
zwei, wenngleich noch so entfernten Grenzwerthen « und 5 einer Wurzel allezeit nähere Werthe der- 
selben erhalten werden, während die Anwendung des Fourier’schen Verfahrens, wenn die oben er- 
wähnten Bedingungen für die beiden Grenzwerthe « und d noch nicht erfüllt wären, eine solche Bestim- 
mung dadurch unsicher machen, dass man sich, anstatt dem wahren Werthe der Wurzel näher zu 
kommen, zuweilen von ihr auch wieder entfernt. Zur Erreichung desselben Zweckes lassen sich auch 
noch die mannigfaltigen Formeln der Mathematik gebrauchen, als die eontinuirlichen Brüche, die reeur- 
venten Reihen, die Produete mit unendlichen Factorenfolgen, insbesondere die der binomischen Factoren 
von der Form (1 +7) (1 5 (1 um) ..., worin &, ß, y, ++. einzifferige Zahlen bedeuten, 
und mehrere andere, und sind zum Theil in der That dazu verwendet worden, wie die ersten von 
Lagrange, die zweiten von Euler. Aber alle bisher genannten Methoden lassen, wenngleich sie den 
streng wissenschaftlichen Anforderungen ein Genüge leisten, von der practischen Seite betrachtet, noch 
Mehreres Zu wünschen übrig, insbesondere in Hinsicht auf den Umstand, dass bei Anwendung einer 
jeden dieser Methoden, nachdem ein Näherungswerth der Wurzel gefunden worden ist, jedesmal der 
Grad der Genauigkeit, mit welchem der gefundene Werth den der Wurzel gibt, für sich bestimmt werden 
muss, welche Bestimmung selber wieder einer bald mehr bald weniger complieirten Berechnung bedarf. 
Die nachfolgenden Untersuchungen haben die Entwicklung einer Methode zur Berechnung der reellen 
Wurzeln einer Gleichung mit numerischen Coöfficienten zum Zwecke, welche von diesen Mängeln frei 
ist. Im Wesentlichen besteht diese Verfahrungsart in der Anwendung eines geregelten Verfahrens, die 
einzelnen Ziffern , mit denen der wahre Werth der Wurzel geschrieben wird, suecessive und in ähnlicher 
Weise zu erhalten, auf welche man die Ziffern eines Quotienten zweier dekadischer Zahlen, oder die Ziffern 
der Quadrat- und Cubikwurzeln aus dekadischen Zahlen mittelst der bekannten Rechnungsmechanismen 
nach und nach zum Vorschein bringt. Diese letztern enthalten mehrere überflüssige Rechnungen. Die 
Anwendung unserer Methode auf den Fall, da die vorgelegte Gleichung eine reine Potenzgleichung ist, 
d. h. die Form x" = a hat, wobei a eine gegebene dekadische Zahl bedeutet, wird auch für die Aus- 
ziehung der Wurzeln eines jeden Grades aus dekadischen Zahlen zu einem, von überflüssigen Rechnun- 
gen freien Rechnungsmechanismus führen, der in Vergleichung mit demjenigen, dessen man sich bei der 
Ausziehung der Wurzeln aus den dekadischen Zahlen zu bedienen pflegt, das Gepräge grösserer Voll- 
kommenheit an sich trägt. 
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