110 Fr. Moth. Auflösung der Gleichungen 
Solche Reihen, deren Glieder nach dem in den Formeln (17) ausgedrückten Gesetze zu ver- 
binden sind, werde ich producirende Zahlenreihen, und wenn die einzelnen Glieder blosse 
Ziffern sind, producirende Zifferreihen nennen. Mehrere, in gehöriger Ordnung unter einander 
gesetzte Reihen dieser Art heissen wir ein System producirender Reihen, welche ich noch überdiess 
nach ihrer Folge, wie sie unter der ersten, von oben nach unten, stehen, durch die Ausdrücke: 
Reihe der ersten, zweiten, dritten,... Ordnung unterscheiden will. 
Wenn nun irgend einer der Coöfficienten, im Allgemeinen P,, berechnet werden soll, so ver- 
wendet man zur Bildung desselben von jeder der beiden Reihen (z), (8), m-+1 Glieder, um aus ihnen 
m-+-1 Partialproducte zu bilden, von denen einer der Factoren aus der Reihe (x), der andere aus 
der Reihe (8) genommen wird, so zwar, dass die Summe ihrer Anzeiger stets derselben Zahl m gleich 
bleibe. Nimmt. man also 
U Us Ui Ui rs An 
der Reihe nach zu den ersten Faetoren an, so sind 
Da! Baı) Dans Bass ren: BB, 
die respeetiven zugehörigen zweiten Factoren dieser Producte. Werden hierauf diese m+1 Partial- 
produete in eine Summe zusammengezogen; so ist dieselbe der Werth von P.. 
Ich werde eine aus zwei Zahlenreihen nach dem eben besprochenen Gesetze hergeleitete Zahl 
schlechthin nur eine produeirte Summe nennen. 
Wir wollen nun diese Sätze zur Berechnung der verschiedenen Potenzen von R anwenden, wo- 
‚ bei es offenbar hinreicht, nur den Fall, da f(«)—=x=" angenommen wird, zu betrachten. Da nun 
(A+RYV=A+Hl)ER.2+G)AR PH) RR. +....; 
so hat man, wenn man 
R=R.R; R=R:.R;... 
setzt, und der Abkürzungen (7) sich bedient 
(A+R.2"=A+ (1) A. 42+ß$)4°4%2°+(6)A° 42H... 
+) AA+LA2+AF+... )A+AS+ALH...). 2 
+6) (3 +B.2+B,2 +...) A+A2+ 42 +...).2 
+) +092+0, 24...) A+L2S+AFH+...). 
+usf 
Wird dieser Ausdruck noch weiter entwickelt, und werden hierauf alle erhaltenen Glieder nach 
Potenzen von 3 geordnet, so findet man 
18)... . AtHRV=43+{)A Art) +8] 2 
mar at]. 
+ AarR]r 
B= 
