148 Fr. Moth. Auflösung der Gleichungen 
Theil der Gleichung (1) substituirt, denselben auf a, redueire. Diese Substitution gibt für den in Rede 
stehenden ersten Theil der Gleichung (1) ein Polynom von der Form 
(3) 
das mit der gegebenen Zahl a, zusammenfallen muss. Im $. I. sind für diese Entwicklung des Polynoms (3) 
die allgemeinen Formeln angegeben worden. Dieselben enthalten die Gesetze für die Bestimmung der 
Coöffieienten Z,, Z,, Z,, Z,, .. . aus den Coöflicienten «,, 4,, 4, . .. und A, Ay, Az, . . . , mittelst deren um- 
gekehrt aus den Coöfficienten @,, a,, a3,... und Z,, Z,, Zu, . .. die Coefficienten A, A, .. ., indem A, als 
schon bekannt vorausgesetzt wird, gefunden werden können. 
Es ist bereits $. I. angemerkt worden, dass sich die Berechnung der Coöffieienten Z,, Z,, Zu : - » 
in dem Falle, da das Polynom (2) in den Ausdruck substituirt wird, nicht wesentlich von dem unter- 
scheidet, da man die Entwicklung der Potenz x" zu suchen hat, und dass nur in den Multiplieatoren 
M', M', M'",... dieser Unterschied liege. Da nämlich die Zahlen a,. a, a,,... auf die producirenden 
Reihen, welche bei diesen Entwicklungen in Betracht kommen, durchaus keinen Einfluss haben; so blei- 
ben sie in beiden Fällen die nämlichen, es mag sich um die Entwicklung des Ausdruckes (1) oder nur der 
Potenz handeln. Nur die im vorigen Paragraphe mit A, M’', M", M'",.... bezeichneten Grössen er- 
leiden eine entsprechende Aenderung, indem man den Formeln (11) und (12) gemäss hat, wenn f(&) 
den ersten Theil der Gleichung (1) bezeichnet: 
ei er 
6) M=- fa): M=-—1 fra); MT= 1 f" (A); et; MeD<1 
1.3 12:8 1.2.3.4 
welche an die Stelle der Formeln (9) und (6) zu treten haben, sobald es sich um die Entwicklung 
von f(x) handelt. Hieraus ist es klar, dass auch die Bestimmungsweise der Werthe der reellen Wur- 
zeln einer numerischen Gleichung des zweiten, dritten, vierten, ... Grades nicht wesentlich von dem 
Verfahren verschieden sein werde, dessen wir uns bei der Auflösung der reinen Potenzgleichungen,, 
d.i. bei der Ausziehung der Wurzeln des zweiten, dritten, vierten, .... Grades aus Polynomen und 
aus dekadischen Zahlen bedient, und $. Il. bereits zur Darstellung gebracht haben. Zur Erreichung 
unsers Zweckes bedarf es also nur einer blossen Vertauschung des assignirten Divisors und der Mul- 
tiplicatoren gegen die aus den Formeln (4), (5) hervorgehenden Zahlen. 
Wir wollen nun diese allgemeinen Vorschriften auf die besondern Fälle anwenden, da n—2 und 
n=3 gesetzt wird, und die Rechnungsmechanismen zur Darstellung bringen, durch welche die Wur- 
zeln von Gleichungen des zweiten und dritten Grades gefunden werden können. 
A) Rechnungsmechanismus zur Auflösung der Gleichungen des zweiten ‘Grades. 
Für n=2 redueirt sich die Gleichung (1) auf die Gleichung 
+2 =0. 
Daraus findet man, wegen f@)=.’+a,2; f (a) 22a; f"(&)=?, und wenn bekannt ist, 
dass A, die untere Grenze der positiven Wurzel dieser Gleichung ist, 
1 
2=-fA)=-2A+a; M=z.f'A)-1. 
l. Beispiel. Die Gleichung &°— 20x. = — 71 hat eine reelle Wurzel, welche zwischen 15 
und 16 liegt. Da hier „= — 20; ,= — 71; 4=15; so hat man 
A=30 -—W=10; M =1. 
