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IL Dans le cas des polygones, les vitesses initiales étant égales 

 €t également inclinées sur les côtés adjacents, nous aurons, outre 

 la dilation ou la contraction mentionnées, une certaine rotation 

 de la figure dans son plan. Dans le cas des polyèdres il n'y a 

 rien de pareil. 



III. Ces propriétés du mouvement du dit système des points 

 ne changeront pas, si nous plaçons au centre de la figure une 

 certaine masse M, et si nous mettons tout le système en trans- 

 lation. 



Pour apprécier la validité de ces résultats il suffira de remar- 

 quer l'identité permanente des circonstances du mouvement relatif 

 des points. L'attraction mutuelle de ces points se réduira, durant 

 tout leur mouvement, à l'attraction du centre de la figure; leurs 

 vitesses seront égales entre elles et, dans le cas de polygone, 

 également inclinées sur les côtés adjacents. Le résultat des at- 

 tractions du point M par les points du polygone ou du polyèdre 

 sera nulle. 



C'est la première généralisation du théorème de Lagrange. Le 

 problème s'y réduit à la recherche du mouvement d'un seul point 

 matériel. La généralisation ultérieure nous amène au problème de 

 deux points matériels, ce que j'ai mentionné dans la même séance 

 de la Société Philomatique, le 21 octobre 1878. 



L'année suivante (1879) M-r E. Hoppe, le rédacteur du jour- 

 nal Grunert's Archiv der Mathematik und Physik, y a inséré un 

 petit article intitulé Erweiterung der bekannten Speciallösung 

 des DreiJcörperproblems. Il commence cet article en termes 

 suivants: 



„Es ist bekannt, dass 3 Punkte mit gleichen Massen unter ge- 

 genseitiger Anziehung sich geradlinig nach einem Centrum hin so 

 bewegen können, dass sie beständig die Ecken eines gleichseitigen 

 Dreiecks bilden. Dieser Fall einer analytisch darstellbaren Bewe- 

 gung eines Punktsystems lässt sich offenbar in mehrfacher Hin- 

 sicht erweitern. 



1) Statt dreier Punkte kann man beliebig viele nehmen, wel- 

 che die Ecken eines regelmässigen Vielecks sind. 



2) Zwischen je 2 auf einander folgenden Hauptpunkten kann 

 man eine umkehrbar periodische Reihe anderer Punkte von ver- 

 schiedenen Radienvectoren einschalten. 



3) Auch die Massen der eingeschalteten Punkte können ver- 

 schieden sein. 



