Auf Grund des Darboux' sehen Satzes, daß die Charakteristiken der partiellen 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung, von der das Problem der Biegung abhängt, durch 

 die Haupttangentenkurven der vorliegenden Fläche gegeben werden, hat man diese Kurven 

 als Parameterkurven besonders bevorzugt, dadurch aber nur in besonderen Fällen (zumal 

 bei der Verbiegung des Rotationsparaboloids) bemerkenswerte Resultate gewonnen. Näher 

 liegt es, die Minimalkurven als Parameterkurven einzuführen, denn sie bleiben bekanntlich 

 bei der Biegung invariant. Im folgenden werden deshalb zunächst diese Kurven allgemein 

 eingeführt, was durch Gleichungen geschieht, die auch schon Bour aufgestellt, aber nicht 

 benutzt hatte. 



Die Untersuchung darüber, welchen Einfluß orthogonale Transformationen auf diese 

 Gleichungen ausüben, führt dann zu einer Methode, um aus jeder Fläche unendlich viele 

 Biegungsfiächen abzuleiten und zwar durch bloße Quadraturen; dabei werden bei jedem 

 Schritte zwei willkürliche Konstante eingeführt. Indem diese Konstanten selbst wieder 

 als Funktionen der Variabein aufgefaßt werden, gelingt es die Aufgabe auf eine Reihe 

 von Quadraturen zurückzuführen, nachdem die Differentialgleichung der Minimalkurven 

 der gegebenen Fläche als gelöst vorausgesetzt wird. Das gewonnene und in den Glei- 

 chungen (83) enthaltene Resultat ist nachträglich leicht zu bestätigen ; man könnte also 

 diese Gleichungen anschreiben zusammen mit den Gleichungen (76) und (79) und dann 

 zeigen, daß alle Bedingungen erfüllt sind; d. h. man könnte alle Entwicklungen bis zum 

 § 9 streichen, wenn es nur auf das Resultat und nicht auf den heuristischen Weg an- 

 kommt. 



Zur Erläuterung werden überall bekannte Beispiele eingefügt. In den letzten Para- 

 graphen werden besondere Probleme bezeichnet, die mit der Biegung zusammenhängen 

 und historisch von Bedeutung sind. 



§ l. Die Minimalkurven als Parameterkurven. 



Nach Analogie mit den Ennep er' sehen Formeln für Minimalfiächen, machen wir, 

 •wenn a und ß die Parameter der Minimalkurven einer beliebigen Fläche bedeuten, für 

 die Koordinaten der Punkte dieser Fläche den folgenden Ansatz : 



* = SlViUda + y^Vdßl 



(i) y = $ O2 Ud « + Wi yd ßl 



b = S\<P t üda + ip a Vdßl 



