wo mit U, V, <p v <p v <p v ip v y.> 2 , ?/> s Funktionen von a und ß bezeichnet seien. Sollen 

 die unter den Integralzeichen stehenden Ausdrücke vollständige Differentiale sein, so müssen 

 die drei Bedingungen 



(2) 



d<p t n , dU drpc dV 



dß dß da da 



für i = 1, 2, 3 



erfüllt sein. Dann bedeuten a, ß in der Tat die Parameter der Minimalkurven, falls die 

 Funktionen tpi und ipi noch den Bedingungen 



(3) <pl + <p\ + ?l = 0, 



genügen. Hieraus folgt weiter: 



vi + Vi + vi = 



(4) 



2t Fi-z- = °. 



da 



n v d Vi n 



<Pi ~rö = 0, Zxpi — = 0, 



3/5 3a 



v 3 V>- A 



" W 3? = ° 



und mittels dieser Relationen erhält man aus (2) : 



3 xpi ,37 

 F2 ^' ^77 + ^77 2<PiV'i = 0, 



(5) 



3 9?,- 3 £7 v 



^'"37 + 37 ^<** = °" 



3^,- 3^,- = ^ dyi dyu dV dy, 



3a dß ^ da da ^ da ^ h da ' 



3_y/,- 3v,- d(pidy>i du dyu 



da dß ' dß dß ^ dß 9 ' 3/T 



Von diesen vier Gleichungen sind die beiden letzten Gleichungen (5) infolge der 

 beiden ersten Gleichungen (5) von einander abhängig. 



3 V 

 Setzt man nämlich den Wert von aus der ersten in die dritte Gleichung ein, so 



3a s 



ergibt sich: 

 (6) 





3a 3 



v s-dcptdyji dq>t v dxp t 



r r 3a 3a " 3a r 3a 



dU 



und ebenso aus der zweiten und vierten Gleichung durch Elimination von -r-r 



dß 



(7) 





Diese beiden Gleichungen aber werden infolge der Bedingungen (3) mit einander identisch. 

 Letztere Bedingungen können wir nämlich, da es wegen der zur Verfügung stehenden 

 Funktionen U und V auf einen gemeinsamen Faktor der Funktionen 9?,- und ip, nicht 

 ankommt, in allgemeinster Weise durch den Ansatz befriedigen: 



(8) 9> I = cos/, 



y, = cos U , 



>p 3 = sin /. , 

 </' 2 = sin <"> 



9>3 = 2 > 

 VS = — *l 



