Es ist folglich 



s j 



(15) ^ = - cotg ^ • -i-S, ^ = - - + cotg - - -f^L , und ebenso: 



,,_ . dl dm co dleQ, dl m 3lgß, 



also, wenn man die erste Gleichung (15) nach ß, die zweite nach a differentiert : 



3 2 co 



(16) - (^cotg T -JL-'j + - (cotg ^ -JL-'j = 



dadß' 



Durch diese Differentialgleichung, in welcher Q x und Q 2 durch (13) und 

 (14), co durch (11) gegeben werden, sind die Funktionen co und Q an einander 

 gebunden. Ist m bekannt, so ist dies für Q eine partielle Gleichung dritter Ordnung; 

 ist umgekehrt ü gegeben, so bestimmt sich co durch eine partielle Gleichung zweiter 

 Ordnung. Sind Q und co bekannt, so wird m aus (15) und sodann l aus (11) gefunden. 

 Es ist A zu m konjugiert imaginär, co rein imaginär und Q ebenfalls rein imaginär. Die 

 Formeln für die Darstellung einer beliebigen Fläche durch ihre Minimal- 

 kurven werden, wenn man noch Q durch — i W und in (1) z durch — s ersetzt: 



x = i II cosin / da cosin u. dßl, y = i\\ sin Ida - 



J L 3a dp J L 3a 3p 



(17) 



C\äW dW 1 



Die Funktion W genügt derselben Differentialgleichung (16), wie die Funktion Q; 

 dieselbe wird: 



(18) 



[dWdW( d*W 3TT 3 3 W dW \ d i W WWteWy d*W(dWyU 



[da dß \da*dß'dß + dadß 2 da ) " dadß \ da* \ dß ) + dß*\da) jj 



_ dWdW d-W fd_codW dcodW\ 2 -'sÜL d2(0 (9Wy fdWy 



da dß dadß\dadßdßda) = = 2 Sln 2 ' dadß \da ) \dß ) ' 



Man überzeugt sich leicht, daß infolge der aufgestellten Gleichungen der Ausdruck 

 cosin/- W a - da = cosin fi • Wß • dß in der Tat ein vollständiges Differential ist. Soll 

 allgemein 



PW a da+ QW ß dß 



ein solches Differential sein, so ergibt sich 



(18a) (P— Q)W afi = Q a Wß - PßW a . 



Setzt man nun 



P = cosin/., Q = — cosin m, 



1-ßWa = Cf • Waß, Ma Wß = y> • W a ß , 



