so ergibt sich, falls W a/ i nicht gleich Null ist: 



(lSb) cosin X -\- cosin ,« = <p sin X -\- ip sin /.i , 



und wenn q> = — 1/ = cotg — gemäß (11) gesetzt wird, so ist diese Bedingung identisch 



erfüllt, indem beide Seiten gleich 2 cosin ^- (A — ,w) • sin (2-|-/i) werden. 



Nachträglich bemerkte ich, daß schon Bour 1 ) die Gleichungen (17) aufgestellt und 

 für W die unten folgende Gleichung (36) abgeleitet hat. Er macht aber von diesen 

 Gleichungen keinen weiteren Gebrauch, er sagt nur, daß er auf die Integration der 

 Gleichung (36) später zurückkommen werde, was aber nicht geschehen zu sein scheint. 



Auch Bonnet führt die Minimalkurven einer Fläche als Parameterkurven ein und 

 kommt zu folgenden Formeln 2 ): 



dx = i (m*~+ n 2 )da + i (m' 2 + w' 2 ) dß , 

 dy = {m- — n i )da + (m ' 2 — n' 2 ) dß , 

 dz = 2mnda + 2m'n'dß, 



deren Integrabilitätsbedingungen zu der Gleichung 3 ) 



(18c) ,«rl-*) - «55„ - l£,l + *H& p -0. 



führen, wo icp = mn' — nm' und wo p, q, r, s, t die Differentialquotienten einer Funk- 

 tion £ bedeuten, aus der m und m' durch die Gleichungen 



2 3C ,. 3£ 



wt 2 = # = — , m' 2 = q = — 



3a 3/5 



bestimmt werden; es ist ferner cp* = F, wenn .F die Gaußsche Fundamentalgröße be- 

 zeichnet. Bonnet verwendet seine Gleichungen nur für einige besondere Fälle. 



§ 2. Die Fundamentalgleichungen der Flächentheorie. 



Die sechs Fundamentalgrößen der Flächentheorie bezeichnen wir, in üblicher Weise 

 mit E, F, G, B, D', D". Es ist dann für die Variablen a, ß 



.(19) E=0, G = 0, F=\l + cosin (X — fi)] d -^^ = 2- cosin 2 £. W„W ß . 



L J da dp 6 



J ) Journal de l'Ecole polytechnique, tome 22, 1862, p. 13 ff. 

 -) Vgl. Journal de l'Ecole polytechnique, tome 25, 1867. 



3 ) Vgl. auch Darboux, Lecons sur la Theorie generale de3 surfaees, tom. 3, p. 261, wo diese 

 Gleichung als besonderer Fall einer allgemeineren erhalten wird. 



