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Die Vergleichung dieser Ausdrücke mit den unten in den Gleichungen (50) auf- 

 gestellten für die Darstellung der Kugel durch ihre Minimalgeraden läßt erkennen, daß 

 die Gleichungen 1 = Const. und fi = Const. auf der gegebenen Fläche diejenigen 

 Kurven darstellen, welche bei der sphärischen Abbildung in die Minimal- 

 geraden der Bildkugel übergehen. 



§ 3. 



Die Biegung einer Fläche. 



Bei Biegung einer Fläche bleiben die Minimalkurven derselben bekanntlich invariant. 

 Es wird sich deshalb empfehlen, das Problem der Biegung mit Hilfe der Darstellung der 

 Flächen durch ihre Minimalkurven, d. h. auf Grund der Formeln (17) in Angriff zu 

 nehmen. Sind dann E = 0, G = 0, F = F (a, ß) die drei Gauß' sehen Fundamentalgrößen 

 erster Ordnung einer gegebenen Fläche, so handelt es sich darum, die Coordinaten x, y, z 

 einer ihrer Biegungsflächen vermöge der Gleichungen (17) so als Funktionen von «, ß 

 darzustellen, daß die Relation (19), d. h. 



m 2 W d W 



Sco 

 Ja 



•tg 



CO 



2~ 



w aa 



w aß 

 w ß ' 



d\«F 

 da 



düO 



dß 



•tg 



0) 



~2 



Wafl , 



w ßß 



d\gF 

 dß 



(30) 2cosin3 y . — — ß = F(a,ß) 



erfüllt wird und daß zwischen den Funktionen W und co zugleich die Gleichung (18) 

 besteht. 



Eliminieren wir aus beiden Gleichungen cd, so ergibt sich eine Gleichung zwischen 

 Wund F in folgender Weise. Aus (19) erhalten wir durch logarithmisches Differenzieren: 



(31) 



Gleichungen, die sich auf die Gleichungen (22) zurückführen lassen; also durch Addition 

 bzw. Multiplikation: 



tg-f • (W ß co a + W a co ß ) W a W ß = W aa Wß + 2W aß W a W ß + W ßß W; - 

 (32) "«'>-• da .-"- 3 ß . 



tg 2 ^ • W*W)a.tt>, = (w„W f + W aß W a -- WaW ß F ^\ 



■ (w aß w ß + w ßß w a -- w a w ß ^\. 



Es wird somit: 



tg^[^BVa a cü, ; tgy- W aß (co a W ß + a> fi W a )] 

 ß'^) V V V F 



= w„ a w ßß - m ß + w a w ß ^ - w„w ß y - w ßß w a f. 



