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Durch nochmaliges Differenzieren der Gleichungen (31) findet man ferner: 

 tt- w% . to . <t _ _ T p Wk 3 -^— — - WaC ° ß W W% 



aa3/3 a p ° 2 " " 3aa/S 2 . ,« 



cosin--r- 



a 



+ W a W ß (W aaß W ß + W m W a ) -- Wa,(WlW„+ W° ß W an ). 

 Infolge dieser Relation nimmt die Gleichung (18) folgende Form an: 



(34) - W afi {a> a W ß + cüßWa) = — sin w Ä^ W a W ß — tg ~ • to a o> ß W a W ß . 



Multiplizieren wir beiderseits mit tg — und beachten, daß nach (19) 



co . F 



(35 ) sin co • tg — = 1 — cosin to = 2 — , Tr T „ 



2 I) „ i> ß 



zu setzen ist, so ergibt sich unter Anwendung von (33): 

 (36) 



W aa W ß ß - W' aß + W u W ß F ^ - W aa W ß F J, - W„ W*^ 



3 a WF d'-WF 



= V " _ 9 W Wi h - 



Y\ ie zu erwarten war, ist diese Gleichung für W identisch mit jener Differential- 

 gleichung zweiter Ordnung, der die drei rechtwinkligen Koordinaten eines Flächenpunktes 

 genügen müssen, wenn sie aus den Fundamentalgrößen E, F, G bestimmt werden sollen, 

 wobei hier E = und G = zu nehmen ist. Man kann den Inhalt der unsere Fläche 

 darstellenden Gleichungen (17) somit dahin aussprechen, daß sie lehren, aus einer be- 

 kannten Lösung der Gleichung (36), zwei weitere Lösungen durch Quadratur 

 abzuleiten, so daß alle drei eine Fläche mit den Fundamentalgrößen E = 0, 

 G = 0. F= geg. Funktion darstellen. 



Daß zwei derartige weitere Lösungen durch Quadraturen zu finden sind, war auch 

 sonst bekannt. 1 ) 



Wie wir die Gleichung (36) durch Elimination von a> aus (18) und (19) bzw. (30) 

 fanden, so kann man durch eine Elimination von W eine Differentialgleichung zwischen 

 (•) und F aufstellen. Man hätte zu dem Zwecke die Größen W, lß , W aa , W ßß aus den 

 Gleichungen (28) und (31) zu berechnen und in (36) einzusetzen. Es scheint sich aber 

 kein übersichtliches Resultat zu ergeben. 



§ 4. Simultane Differentialgleichungen für die Koordinaten x, y, z. 



Sind E, F, G gegeben, so genügen die Koordinaten x, y, z eines Punktes der Fläche 

 bekanntlich einer Differentialgleichung 2. Ordnung, die man auf folgende Weise findet. 

 Nach Gauß bestehen für die zweiten Differentialquotienten die Gleichungen: 



l ) Vgl. z. B. Bianchi, Differentialgeometrie, 2. Aufl. S. 203. 



