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(EG—F*) S ~ = A-D + (Gx u — Fx v ) \E„ + (Ex v -Fx !t ) (F U —$E V ), 

 (36 a) (E G— F>) ^ = A D" + (G x u — Fx,) (F v — j G„) + (Ex, - Fx u ) i G„ , 



(EG-F*)^= AB' + (Gx u - Fx h ) 4- E v + (Ex v - Fx„) \ ■ G u , 

 wo A, E, C und A dieselbe Bedeutung haben sollen, wie am Schluß von § 2. 



Bildet man hieraus den Ausdruck BB" — D' 2 , so wird (wenn A = EG — F'*): 



(DD" — D' 2 ) • A 2 = [^ • A - | E u (Gx u — Fx v ) - (F»-\E V ) (Ex v —Fx u ) 



|_ oll 



d*x 



G v (Ex c - Fx„) — (F v - 1- G u ) (Gx,—Fx t ) 



dudv 



und auf der linken Seite ist 

 A 2 = 



1 











Xu 



y« 



* u 



Xv 



1/° 



&V | 



} E v (fix« — Fx r ) — i G„ (Ex v -Fx u ) 



A — Gxl— Exl + 2 Fx„x t . 



Da nun nach der Gaußschen Formel D • D" — D' 2 auf E, F, G zurückgeführt 

 werden kann, so ist damit die gesuchte Differentialgleichung gewonnen. Sie wird auch 

 von y und z befriedigt. 



Ersetzt man in (36 a) x durch y, so ist auf den rechten Seiten A durch B zu ersetzen. 



Die drei Gleichungen (36 a) entstehen aus den Identitäten 



a5 Xu X tltt — -g- J^j, t , 



d X T #HH == J? u tj -L*r , 



S A x„„ = D , 



£j X tt X uv — -jj- -LJ V j 

 fj X v Xuv === t> tx u . 



SAx ua = D' , 



/j X n X tv — Jj c ■ -^ lt w , 



*5 Xf) X$Q — 'S yJTf ) 



Si^„ = D" , 



und erscheinen daher zunächst in der Form: 



(36 c) 



wo: 



(36 d) 



— * X U \i 



J x„ = 



J,i = 



\E n y„;,, 



F„ — i E t y v z, 



D B C 



AD" 



■Jy.3 > 



AD — 4*1 • 



Ax ut = AD' 



i E u E F 



F,—iE v F G 



U Xu x$ 



A ml = 



J.,-3 = 



\ E v E F 

 IG» F G 



F, - l G„ E F 

 l-G v F G 



\J Xu X$ 



