13 



(36 e) 



(36 f) 







1 







| 



y« 



y° 



X u 



y« 



»II 



— - x n 



E 



F 



*I) 



y* 





30$ 



F 



a 



Ebenso ist: 



J y„„ = BD — A Vx , J y m = BD' — A yi , 



Ay m = BD" - J„ 3 . 



Aus den beiden Gleichungssystemen (36 c) und (36 d) erhalten wir: 

 (Ax, m + J. t i) (Ay m + J„ :; ) + (Ax m + /d aS ) 0^«.. + A. ul ) 

 - 2 (zJ*, lr + J, ä ) (Ay,„ + /f„) = 2 AB (Bö"-^»), 

 und hier ist 



1 

 AB = ,r„ y„ *„ 

 , %<! Vc z* ! 



= (y„x t + y„x u ) F — y„x„ G — y v x v E , 

 während wir für x allein hatten 1 ): 



(^2„„ + zf a i) (J#„ + A xS ) — (Jit,„- zl l2 ) 2 

 = (DD" — D' 2 ) (A — Gxi, — JSaS + 2 JPa;,,*,,) . 



Wir schreiben die Gleichungen (36g) und (36 f) in der Form: 

 {x, x} = A (DD" — D' 2 ) . {x, y} = . 



Da auch y der Gleichung 



fo y) = A(DD»-D'*) 



genügt, so ist offenbar: 



{ax + by, ax + btj) = a 2 {x,x) + ab{x,y} + ö 2 {y, y\ , 

 = (a 2 + 6 2 ) • (DD" — D' 2 )zJ. 



Die Koordinaten x, y, z genügen also als Funktionen beliebiger Para- 

 meter u, v den Gleichungen: 



{x, x) = {y, y} = {■, 0} = (DD" - D") . A 



{x, y) = , \y, 4 = , {,~, *} = 



(36 h) 



und hierin ist: 



{x, x} = [Ax m + A xl ) (Ax„ + 4es) — (Ax uv — /J^) 2 



+ (DD" — D' 2 ) (.E:*;,, 2 + Gaü — 2 i^r,,^) 

 {x, >j} = (Ax m , + A xl ) (Ay cv + A uZ ) + (Ay uu + A yi ) (Ax vv + z/ x3 ) 

 — 2 (zlz„ t . + J^o) (Ay uv -f ^ 2 ) 



+ (DD" — D' 8 ) [x u y a G-t-x v y v E — F(x u y, + x„y u )~], 

 worin der Ausdruck DD" — D' 2 nach der bekannten Gauß' sehen Formel einzusetzen ist. 



i j Barboux erwähnt (Lecons, t. 3, p. 253), daß er diese Gleichung in seinen 1872 erschienenen 

 Memoires sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques aufgestellt habe. Die elementare 

 Ableitung des Textes ist nach Enneper's Vorlesung aus dem Winter 1871/2 gegeben; Enneper schrieb 

 die Gleichung Bour zu, doch scheint sich das nur auf den besondern Fall E = 0, ff = zu beziehen. 



