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Die lineare Kombination ax -\- by -\- cz genügt infolge dessen der Gleichung: 

 (36 k) {ax -f- by + cz, ax + by + cz) = (a 2 -f- Iß + c l ) {DD" — Z»' 2 ) J . 



Denken wir uns die Parameter a, ß der Minimalkurven eingeführt, so wird: 

 \x,x) = F* [(Fx ua —F„x a ) (Fx„ — F w z.) - F*x; n , + 2 (F F„ v — F„ F.) x„ x t .,] 



{x,y\ = F* [F 3 (x mi y„ + x vv y u —2x„ t y, ic ) — FF u (x vv y, l -j r y vv x„) 



— FF V (x„ u y, -r- x M y a ) + (x„y v -{-x,y a ) (2F m .F+ F„ F„)] , 



wo nun i<- und v durch a und ß zu ersetzen sind. Die erste Gleichung (36h) wird dann: 



dFdx* dx _ dF d*x dx 

 Sß da 2 dß ~ ' 3a dß 1 da 



fd s x 2 2 z l d % x V\ d-c °x- ax 



Kda 2 d]P _ \da~dß) ) ~ 



_3FBFdxdx 9 d^F dxdx 

 da dß dadß dadß da dß~ 



= F . 2 ^F _ F 9F9F 

 dadß da dß' 



und damit identisch mit der Gleichung (18) für W. Ist also W eine Lösung der 

 Gleichung (18), so genügen die beiden durch (17) definierten Funktionen X 

 und y den Gleichungen: 



(37) {x, x) = {y, y\ = F> (FF ttß - F„F fi \ {x, y} = . 



Ebenso sind die Gleichungen erfüllt: 

 (37a) {x, 4 = F*(FF aß -F a F ß ), {y,s} = 0; {x,y\ = 0. 



§ 5. Die Rotationsflächen. 



Insbesondere sei eine Rotationsfläche durch die Gleichungen 

 (38) X = r • cosin q> . y = r ■ sin <p , s = /'(>■) 



gegeben: dann wird 

 (38a) tfs' = (1 + f'(r)')dr* + ^dcp* = Ar 2 dadß, 



wenn a, ß die Parameter der Minimalkurven bedeuten: 



2 da = dm + U/T+f 1 —, 



r 



2dß = dq, - iVT+p^, 



rf r = d« + (7/J . Äa — dp 1 = iVl+f 2 — . 



