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Es hängt also /■ allein von a — ß ab, und <p kann gleich a -\- ß gesetzt werden, 

 so daß: 



(38 b) x = cosin (a+ß)- F 1 (a — ß), // = sin (a + ß) ■ F t (a — ß), s = <Z> (a — />') , 



und, wenn wir die vollständigen Differentiale einführen: 



X = J [ { cosin (a + ß) K (a — ß) - - sin (a -f- ß) F t (« — ß) } da 

 — { cosin (a + /?) K (a — />') + sin (a + /?) F, (« — ^) } tf£] , 



(39) y = ^[{sin (a-f /?)^(a — /?) + cosin (a + 0) F, (a — #) } d a 



- { sin (a + ,3) tf («-/?) - - cosin (a + /?) *\ (a-/J) } rf^ff] , 

 j = j*[ $'(a—ß) da — &{a — ß)dß] = ®(a—ß). 

 Dabei ist: 

 (39a) Fl + F'\ + <P' 2 = 0. 1 ) 



Diese Gleichungen sind auf die Form (17) zu bringen. Hier ist W= <5 (a — /?) 

 gegeben: es ist also: 



STF _ a ir aMF d^W_ d 2 W &W^ &W 



(39b) da dß' 3a 2 9/3* : 'dadß' da 2 dß = 3a3/5 2 



= &'(a-ß) = <D"(a — ß) = — $>"(a — ß), 



und die Gleichung (18) wird: 



- 2 sin a, - [*"'(*-j8) ■ *«(a-fl - ^'{a-ßf] - <I>"{a-ß) <P'(a-/?) (^ - d( °) 



(40) V 9 /* 9a / 



Zur Bestimmung der Funktionen 2 und /,( dienen die Gleichungen : 



U cosin /. = cosin u • F[(v) — sin u ■ -F,(v), Fcosin u = cosin u ■ F[(y) -\- sin u F^v), 



Usin '/. = sin u ■ F\ (y) -\- cosin u ■ .F, (u), Fsin /.i = sin u ■ F\ (v) — ■ cosin u F x (v) , 

 wenn 



(41) u = a -±- ß, v = u — ß 



gesetzt wird. Hieraus ergibt sich: 



F, + F{ tgu _ -F. + Fjtg u 



-F^gu + FV tg ' U ~ Fi + F^gu ' 



. . F. + Fi tg u . , 



sin / = , , _ , ° =: = cosin [w — u) , 



(42) VFl + F?Vl + tg*u 



— F, tg u + F[ 

 cos / = - ._ = sin (iv — u) , 



VFI+ Fl 2 Kl -Mg 2 ?« 



sin p. = cosin (iv -\- u) , cosin /u = sin (iv + u) , 



J ) Ist umgekehrt <1> gegeben und soll F bestimmt werden , so ist dies eine vielfach behandelte 

 Differentialgleichung; vergl. Darboux, Theorie generale des surfaces, t. 4, Note VI. 



