16 



wobei 



F. . Fi 



(431 cosin iv = = , sin w = -== 



y ' Vf\ + f? Vfi + f? 



gesetzt ist, w also eine gegebene Funktion von v = a — ß bezeichnet. 



Die Gleichungen (17) werden für eine Rotationsfläche: 



x = i j[(P'(a — ß) ■sm(u — ic)da -\- <P' (a — ß) sin (w + u) dß] 



= J*[(-P\' • cosin u—F 1 ■ sin u) da — (Fi cosin u -\- F 1 sin u) dß], 



(44) y = i j* [<£' (a — /?) • cosin (u — w)da -f $' (a — /?) cosin (w + m) d /?] 



= f [(-F^ • cosin m -f- .Fi sin w) da -)- (F, cosin u — F[ sin w) dß] , 



g = c/> (a — 0), 



wo die Funktion w durch (43) definiert und die Funktion F t (a — ß) mit (a — ß) durch 

 die Relation (39a) verbunden ist. Die durch (11) definierte Funktion a> berechnet sich 

 aus (42), nämlich: 



cosin co = cosin (/. — ju) = sin (u — w) sin (u -\- w) -f- cosin (u — w) cosin (u -\- w) 

 = cosin 2 w , also co — 2w, 



ist also Funktion allein von a — ß. Dieser Wert von co gibt eine Lösung der Differential- 

 gleichung (40), und zwar wird 



(46) tgco = F °._ F . a ■ 



Aus (43), (45) und (15a) folgt: 



"' a,rf = FT-KF? = cots -2-3ß[ l 



und es ist nach (39a) und (46): 



so daß die Gleichung (47) in der Tat mit (15 a) übereinstimmt. 

 Die Fundamentalgrößen werden: 



F = 2 cosin 2 | • TF a • TP> = 2 Fl 

 (48) 2) = Z>« = 2 Fl ■ V ■ ^ K -^g~ ^ 



T? 2 _I- TT 77"' 



D< = F • W a ■ l» =—2 0' -Fl 



co Fi 



ts Y = F t - 







W\ dl 



a ) ' Sa 



= — 



F t F"-F^ 

 Fl + F? 



cp" F i Fi 



+ Fi f- 



0' Fl 



+ f; 



2 



Fl + Fi* 



Die Differentialgleichung der Krümmungslinien wird daher: 



da 2 - dß* = oder da + dß = und da — dß = , 

 wie es sein muß. Diejenige der Haupttangentenkurven wird: 



