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(F, Fi -2 Fi'- Fl) (da 3 + dp) + 2 (F\ + F, F[) da dß = , 

 oder wenn wieder u = a -f- /? , ü = a — ß gesetzt wird : 



F, F[ du*- - F\ dv* — Fl 3 (du 2 + dv s ) = , 

 also durch Quadratur: 



n F f- 4- i*" a 



(49) « = J i/ ^jT,^ ^. 



Handelt es sich z. B. um eine Kugel von Radius 1, so ist in (38) 



f(r) = Vi— r 8 

 zu nehmen, und es wird: 



und aus (43) : 



cosin «' = cosin (a — ß) , sin «• = sin (a — /?) , w — a — ß 



und also aus (44): 



p[ sin 2/3 sin 2 a 1 cosin (a -f- ß) 



~ J [cosin 2 (a — ß) C + cosin 2 (a — ß) P \ = = cosin (a — ß) ' 



p| cosin 2/? cosin 2 a ] _ sin (a + ß) 



y ~ ' J Lcosin»(a— /*) + cosin 3 (a-/?) A J ~ " cosin (a-ß)' 



da d ß . sin (a — ß) 



• f[ da dß 1 



J [.cosin 2 (a — ß) cosin 2 (a — ß)\ 



Lcosin 2 (a — ß) cosin 2 (a — ß)\ cosin (a — ß) ' 



Setzt man hierin 



P = tg a . q = tg ß , 



so erhält man die übliche Darstellung der Kugel durch ihre Minimalgeraden in der Form: 



(al ) * = i — ^ - y = — r — ~> z = l 



1 — pc[ ' 1 — pq' 1 — ^2 



Im Beispiele der Kugel ist also: 



W=itg(a-ß), ). = C 9 -2ß), fi = ^-2a, co = 2a-2ß, 

 cosin 2 (a — ß) ' cosin (a — ß) ' 



§ 6. Verbiegung von Rotationsflächen auf Rotationsflächen. 



Da nach (48) die Fundamentalgröße F sich auf die Funktion F l (a — ß) reduziert, 

 so sind alle Rotationsflächen auf einander abwickelbar, bei denen i* 1 , denselben Wert hat; 

 dieselben können sich dann nur durch die Funktion ( P unterscheiden, wobei nach (39) 



<p> = i VFl+Fi 2 . 

 Abh. d. math.-phys. Kl. XXIX, 3. Abh. 3 



