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Diese Gleichungen enthalten eine willkürliche Konstante a, sind deshalb ebenso all- 

 gemein wie obige Gleichungen (53). Man kommt zu der Form (54) auch direkt durch 

 folgende Überlegung. 



Eine Fläche bleibt ungeändert, wenn man die Parameter a, ß durch beliebige Funk- 

 tionen A, B dieser Parameter ersetzt. Für eine auf die gegebene Fläche abwickelbare 

 Rotationsfläche, bei der F 1 durch F 2 ersetzt wird, muß daher auch der Ansatz gelten: 



ds* = 2Fdadß = 4 Fl da dß = 4 A'B' F, (A-Bf da dß . 

 Hier soll links F 3 eine Funktion von a — ß sein; es ist also 



A = aa , B = aß 



zu setzen, wo a eine reelle Konstante bezeichnet, folglich: 



F 2 (a —ß) = a F t (aa — aß) , 

 wodurch wir zu den Gleichungen (54) zurückgekehrt sind. 

 Setzt man 



« = i- («' -f- /}') , v = a(a'-ß'), 



so ergeben sich hier die folgenden Beziehungen : 



F. (v) -\- aFi (v) • tg u . . a Fl ■ cosin u — F. • sin w 



tg /., = *!,! \ — *\\ ° , cositi L = - . =r^= , 



a F> (v) — F t (v)tgu • Va J Fi 2 + F\ 



a Fi sin u -4- F x cosin u — 2 a F, Fi 



tgM =U F i - Jß = ~ C0t ^i ■ (W> = TT a'F' + F T ■ 



F. sin u-\-a Fi cosin u . F. cosin u — a Fi sin u 

 cosin n = — — - _ _ — , sin u. = — , .. - = — , 



Vor Fi s + Fl Va? F[ * + F\ 



a'Fl' — Fl . —2aF,Fi 



cosin »« = a*rs + F\ ■ s,n "» = i^wTfx ■ 



Mit Hilfe dieser Werte ist die Parameterdarstellung der Fläche nach den Formeln 

 (17) aufzustellen. 



Die Rotationsflächen konstanten positiven Krümmungsmaßes sind auf die 

 Kugel abwickelbar. Wählt man das Krümmungsmaß gleich Eins, so findet man sie also 

 aus den Gleichungen (50) bzw. (52) in der Gestalt: 



• a + ß . a+ß 



cosin - sin 



a 



y = —a 



cosin a(a — ß) ' cosin a(a — ß) ' 



(55) d v 



z — i aj V a 2 + (1 — a 2 ) cosin 2 av - r— „ , v = a — ß . 



3* 



