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oder: 



c 3 — ia 3 cosin/ -+- ib% sin /. 1 -f- cosin co 



A _ 1 /" 1 + cosin co . i 3 cosin A — a 3 sin A co 



2 Z 3 ilf s — 1 — cosin m 



L, ' D 2 



und man überzeugt sich leicht an einem Beispiele, daß diese Gleichung im allgemeinen 

 nicht erfüllt ist. Es gibt indessen Ausnahmen. Nimmt man z. B. a 3 = b i = c, = 1 und 

 alle anderen Koeffizienten gleich Null, so werden beide Seiten der Gleichung (65) nach 



3 1 



Multiplikation mit cosin 2 A ■ cosin m gleich sin——-; ebenso nach Multiplikation mit 



Li 



X 4- u 

 sin 2 A • cosin &> gleich cosin — = — , wenn man nur a 2 = c, = a 3 von Null verschieden und 



gleich 1 annimmt. Allgemeiner kann man c s = 1, a 3 = 0, b s = 0, a x =b i = cosin <p, 

 a 2 = — ij = sin c/i, c, = 0, c 2 = nehmen, ohne die Gleichung (65) zu stören. Dieser 

 Fall entspricht der Drehung der Fläche um die Z-Achse, die man auch dadurch darstellt, 

 daß man in (17) die aus (15) und (15a) zu bestimmenden Funktionen A und fi um die- 

 selbe additive reelle Konstante ändert. 



Transformiert man die Relation (15a) mittelst der Formeln (59a), so erhält man 

 die entsprechende Gleichung zwischen den Funktionen A, M, ß, w (= A — M). Aus 

 den Gleichungen (62) findet man durch Auflösung: 



. , a, cosin A + «, sin A -f- ia, . . b, cosin A -4- b, sin A -f- i b. 



cosin/ = : ;— : — *—. . , sin / = J -j— ■ *-= — ' , 



Cj cosin A -\- c 2 sin .1 -j- i c 3 c x cos A -j- c 2 sin A -j- j c 3 



also: 



L 3 = c 3 [(l + (Cj cosin .1 + c 2 sin J) -4- (1 — *) c 3 ] , 



M 3 = c 3 [(1 — i) (c, cosin M -j- c 2 sin A) + (1 + i) c 3 ] . 



Diese Werte hätte man in die folgende Gleichung einzusetzen: 



3 Q _ ~\f ( 1 + co sin w) L, M, 



c 3 ^ — Ja s cosiuA + i& s sinA 3/)' ' 2 — L 3 il/ 3 (1 -(-cosin ?<-■) 



ß<*/? , i a s cosin A — ib % sin A 3 A 



Es geht hieraus hervor, daß die Gleichungen (15) und (loa) in bezug auf 

 orthogonale Transformationen keinen invarianten Charakter haben. 



S 



S. Aufstellung unendlich vieler Biegungsflächen einer gegebenen Fläche. 



Ist eine Fläche gegeben, so stellen wir die Koordinaten ihrer Punkte zunächst in 

 Form der Gleichungen (17) dar, was nach Integration der Differentialgleichung ihrer 

 Minimalkurven stets möglich ist. Nach § 4 haben wir dadurch drei Lösungen der par- 

 tiellen Gleichung (36) gewonnen. Aus der dritten Lösung (z = W) werden die beiden 

 anderen mittelst der Formeln (15) und (15a) gewonnen. Wenden wir aber diese Formeln 

 auf eine lineare Kombination der drei Lösungen an, wie sie in § 7 vorlag, d. h. gehen 

 wir von einer Lösung 



11', = f [ (i : o cosin / -f- i b sin A + c) W a da — (ia cosin /t -\- i b sin /li — c) Wß dß\ 



