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aus, wo zwischen den Konstanten a, b, c die Relation 

 (66) a* + 6 2 + c 2 = 1 



erfüllt sei, und bestimmen wir eine Funktion o>, durch die Gleichungen 



. dW. 3 IT, „ , « dWdW 



(1 + cosm «0 - -j - (1 + cosm ») — — , 

 ferner die Funktionen /., . //, durch die Gleichungen (15) und (15 a), d. h. 



dZ.dW, «. 3 2 TF, 3/', 3TF, co, 3»T7, 



3ß da ° 2 3a3p" da dß ' ° 2 dalß' 



nnd setzen dann 



■ rr • - dW i 7 • dW i ,» .1 



a: = , cosm /., • — da — cosm u. - - an , 

 J [ 'Sa * dß J 



. r r • - dW, , • • s^i 7 ,l 



(6< » y, = i J I sin /., • — da — sin u, z ^f d ß | - 



so genügen diese drei Funktionen nach § 4 den Differentialgleichungen : 



. _ /„ d 2 F dFdF\ 



m <*- *> = <*■ *> = <*•• *■> = F r ^ ~ 3« 3lj 



{*,. »,} = o. {</,, #,} = 0, fo, «,} = 



und es ist identisch: 



3«, 3a;, 3y t 9y t dz, dz, = 



3a dß 3a dß * da dß 



Die Größen #,, y,, £, sind also die Koordinaten eines Punktes einer Fläche, für 

 welche a, ß die Parameter der Minimalkurven sind und die auf die gegebene Fläche ab- 

 wickelbar ist. Die neue Fläche hängt von den drei Konstanten a, b, c ab, zwischen 

 denen die Relation (66) besteht, und nach den Untersuchungen in § 7 kann sie nur 

 in ganz besonderen Fällen mit der gegebenen Fläche kongruent sein. 



Auf diese neue Fläche kann dasselbe Verfahren nochmals angewandt werden, und 

 so kann man aus jeder Fläche unendlich viele andere Flächen ableiten, die 

 alle auf einander abwickelbar sind, und bei jedem Schritte werden zwei neue will- 

 kürliche Konstante eingeführt. 



Für das Beispiel der Kugel haben wir 



W, = ■ — : — ; - [a cosin (a-\-ß) + b sin (a-\-ß) + i c sin (a — ß)'\ 



1 cosin (« — ß) L vi// v r/j 



[o cosin (a -j- ß — d) -f- ic sin (a — ß)~] , 



cosin (a — ß) 



