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also durch Subtraktion : 



, g0 . <P„SB>— Jfy2& l a w' ß — lß(ü' H 



cosin s 30' cosin 2 a>' 



Der Zähler der linken Seite ist gleich —~- { ( P a Wß — 0^1^), der der rechten Seite 

 gleich -=- (/.„/'p' — i-ßfie). Zufolge der obigen Formeln (19) und (28) ist die rechte Seite 



gleich dem Krümmungsmaße der gegebenen Fläche, multipliziert in die Fundamentalgröße 

 F: uud da 0. W, 2S' für die Biegungsfläche dieselbe Bedeutung haben wie l, /u, <o' für 

 die gegebene Fläche, so sagt Gleichung (80) nichts anderes aus, als daß das Krümmungs- 

 maß beider Flächen identisch ist. Dieselbe Gleichung ergibt sich aus den ersten beiden 

 Gleichungen (71). 



Die beiden Integralitätsbedingungen der Gleichungen (79) sind folglich 

 identisch erfüllt, denn die Gleichung (80) ist von der Gleichung (76), die als erfüllt 

 vorausgesetzt wird, nicht verschieden, da das Krümmungsmaß nur von F abhängt und 

 nach (76) die Fundamentalgröße F für beide Flächen dieselbe ist. Letztere lautet jetzt 

 infolge von (78) : 



(81) r ■ cosin 2B' = cosin m' , 



wenn noch 



(81a) B = r ■ e"' , B' = r ■ e- { i 



gesetzt wird. 



Das gewonnene Resultat hätte vorausgesehen werden können. Die Gleichungen (79) 

 nämlich sind identisch mit (77), bezw. (73) und (74) und letztere lassen sich in der Form 



L, R\ + L % K 2 + L s K s = , M, K x + M 2 K 2 + M,K, = 



schreiben, wenn mit K x , ÜT 2 , ÜT 3 die linken Seiten der Gleichungen (71) oder (72) be- 

 zeichnet werden. Hierzu kommt die dritte Gleichung (70), d. h. K 3 = 0, so daß: 



also auch: 



denn die Determinante 



£,.£, + L 2 K 2 = und M \ K } -J- M 9 K a = , 

 Z, = , K, = , 



L 1 M i — L 2 M V = BB' sin (0— W) 



kann im allgemeinen nicht verschwinden. Die Gleichungen (73) und (74) sind also in 

 der Tat eine Folge der Gleichungen (79), und die Gleichungen (74) waren aus der dritten 

 Gleichung (70) gewonnen, die sich nun umgekehrt durch vorstehende Rechnung als Inte- 

 grabilitätsbedingung der Gleichung (79) ergibt. Sollte <£ = W sein, so würde auch X = (i 

 folgen und dann wäre nach (28) das Krümmungsmaß gleich Null. 



Man kann die Zurückführung der Gleichung (80) auf diese Gleichung (81) auch in 

 folgender Weise direkt erkennen. Oben waren die Gleichungen (79) zuerst beiderseits 

 mit tg SDB' multipliziert und sodann differenziert. Berechnet man die Werte W,^ und 0„^ 

 direkt, so ergeben sich die beiden Relationen: 



