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(81a) 



COS1I1 * CO 



4 co' K ' J sin 2 SB' v ' J sin s aB' 



wo zur Abkürzung z. B. /taO^ — P-ßCoL — (/*,»') gesetzt ist, und hieraus durch Sub- 

 traktion bezw. Addition (da X — ,u = m = 2co'): 



tgco'-(co',SB') + (lgr,2iV) = 0, 

 (81b) 



cosinäß'- sin 20' • (2 + /i, co ') — cosin co' -sin co' •(/+,«, SB') — 2 icosinco'- cosin o/-(cp,2S') = 0. 



Nun findet man aus (81): 



(81c) ^ = -~^--VM-, 



und somit geht die erste Gleichung (81b) über in 



1 sin co' 



(co', SB') 



tg co' — 

 8 r cosmSB' 



= 0, 



und hier verschwindet die zweite Klammer infolge von (81), so daß die erste Gleichung 

 (81b) erfüllt ist. Aus den ersten beiden Gleichungen (79) erhalten wir unter Benutzung 

 der ersten Gleichung (81a): 



(!F,9B') = (j>,2B')tg co' -- (lg» - — »^äS 1 )] cotgSSÖ' 



(81 d) cosin *2S' , . cosin 2 SB' , " 



= ■ 2 , • C"> «>') = „ --r—, ■ (ji, /.) . 



cosin* co 2 cosin- co 



Denselben Wert findet man für (<Z>, SB'); es ist also: 



rosin 2 SB' 



(«P + !F, SB') = [(/ + ft SB') tg co' + 2 i (<p, SB')] cotg SB' = — ^^ • (^, ).) . 



cosin'' co 



Diese Gleichung aber ist wegen der Relation (/. -f- /n, co') = (ju, /.) mit der zweiten 

 Gleichung (81b) identisch. Die beiden Integrabilitätsbedingungen (81a) reduzieren 

 sich also auf die eine Gleichung (81), auf die auch (80) zurückgeführt wurde. 



Zur Bestimmung der vier Funktionen <P, T, R, R' haben wir also die Gleichung 



(81) und die vier Gleichungen (79). Von letzteren war wegen (81) bezw. (76) die dritte 

 eine Folge der ersten und die vierte eine Folge der zweiten. Es brauchen also nur die 

 zweite und dritte Gleichung beibehalten zu werden. Wegen der erfüllten Integrabilitäts- 

 bedingungen ist aber auch die zweite eine Folge der ersten und die vierte eine Folge der 

 dritten, so daß nur eine der vier Gleichungen (79) etwas neues aussagt. Diese 

 Gleichungen sind aus den drei Gleichungen (71) durch zwei lineare Kombinationen ge- 

 wonnen. Es muß daher noch eine der letzteren Gleichungen hinzugefügt werden. Wir 

 wählen die dritte. Dieselbe wird infolge von (75): 



(82) R ß W a + R^W ß +(R + R') W aß = . 



Diese Gleichung läßt sich in mehreren anderen Formen schreiben; durch die Sub- 

 stitution (81a) wird z. B. : 



