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Die Bestimmung aller Biegungsflächen einer gegebenen Fläche ist hierdurch, sobald 

 man die Parameter ihrer Minimalkurven eingeführt hat, auf eine Reihe von Quadraturen 

 zurückgeführt, und die Koordinaten der Punkte der allgemeinen Biegungsfläche 

 der durch die Gleichungen (17) gegebenen Fläche sind dann: 



x 1 = f \re l i ■ cosin <P • W a ■ da -\- re~ i i' cosin ¥ '• W ß • dß] , 

 (83) y t = C[re l 'p sin <t> ■ W a ■ da -j- re~"> sin W • W ß ■ dß] , 



», ==ij[re ; '" . W a ■ da — re~ u < ■ W ß ■ dfl] . 



Um diese zu finden, hat man die gegebene Fläche durch ihre Minimalkurven in 

 der Form (17) darzustellen, was die Integration einer gewöhnlichen Differentialgleichung 

 erfordert; dann sind 1, /u, W, co als Funktion von et, ß bekannt; die entsprechenden 

 Größen 0, l F, r, <p der Biegungsfläche bestimmen sich sodann in der geschilderten Weise 

 durch mehrere Quadraturen. 



Das Entsprechen von 0, l F, W zu /, ,«, co tritt auch darin hervor, daß sich z. B. 

 die erste und vierte Gleichung (79) in der Form 



^ = -co tg ? w-*m t 



(83 a) 



cp ß = cotg - _ , 



schreiben lassen, also genau in der Form (15), bezw. (15a); denn für die Biegungsfläche 

 wird die Funktion W durch die Funktion 



(83b) *, = i j"[re'v . W a da—re~"r W ß d ß ] 



ersetzt. Die Gleichungen (79) bezw. (83a) bleiben ungeändert, wenn man <P mit 2, !Fmit ,«, 

 W mit co, r mit r~ l und cp mit — cp vertauscht; dieser Vertauchung entspricht die Rück- 

 kehr von der Biegungsfläche zur ursprünglichen Fläche. 



Der ursprüngliche Ansatz, nach welchem die Koeffizienten a k , b k , c k in den Aus- 

 drücken jL,, L. 2 , L 3 zu bestimmen gewesen wären, ist im vorstehenden zurückgetreten, da 

 die Funktionen L, direkt berechnet werden konnten und nun die Bestimmung jener 

 Koeffizienten überflüssig ist. 



Nachdem die Gleichungen (83) gewonnen sind, ist nachträglich leicht einzusehen, 

 daß sie das Problem lösen. Erstens nämlich stellen sie eine Fläche dar, da infolge der Glei- 

 chungen (79) und (82) unter dem Integralzeichen vollständige Differentiale stehen. Zweitens 

 sind die Bedingungen 



(•£)■+ GS)'*®*-- tö)' + tö)'*®)'-' 



infolge der Gleichungen (79) identisch erfüllt, und drittens besteht nach (76) die 

 Gleichung: 



P 3 /' + 3 ~' 3 4 + ^ *'* = F = 2 W a W ß ■ cosin • *=* . 



da dß ~ da dß 1 da dß p 2 



