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§10. Die Differentialgleichungen des Problems. 



Die Gleichungen (83) liefern die allgemeine Lösung der in (36) gegebenen partiellen 

 Differentialgleichung zweiter Ordnung, wenn eine Lösung W derselben bekannt ist; ins- 

 besondere kann der Ausdruck (83 b) als eine solche Lösung gelten. Diese Funktion z x 

 genügt zunächst der Gleichung, welche aus (36) entsteht, wenn man F durch F* ersetzt, 

 nämlich : 



da- ITfF ' ' [dadßj + da dß da dß da 2 dß dj~ 



_ 3**, 3£, 3l R J* 3*, 9£, ?-l%F* = ^ _ 3* lgF* 



3/Cf- 3a 3a "" " da dß dadß Sadß ' 



(84) 



wobei 



1 3 W 3 W 



(84 a) F* = 2 JF222' cosin » ± («P- f) • ~" ~ 



gesetzt wird und <P — W mit -F* durch die Gleichung zusammenhängt, welche aus (16) 

 durch die angegebenen Vertauschungen entsteht, nämlich: 



Xun war aber nach (76) F* = F; es genügt also e 1 auch der Gleichung, welche 

 aus (84) entsteht, wenn man F* durch F ersetzt. Ist folglich W eine partikulare 

 Lösung der Gleichung (36), so ist die allgemeine Lösung durch die Funktion 



s t = if[R W a da — E' W ß dß] 



gegeben, sobald R und R' der Gleichung (82) genügen und durch die Gleichungen 

 (79) und (76) mit den Funktionen <£, W, X, /i zusammenhängen. 

 Setzt man in (84): 



d -^ = iRW a , d Ji = -iftW ß , 



da dß 



so ergibt sich zwischen R und R' die Beziehung: 



R„ R ß W a W ß -f- RR ß W aa W ß + R a R' W ßß W„ - - R ß Rä W a Wß 

 (84 b) - R R a Wß W aß — R ß R' W a W aß - - E a R' W„ W ß F ß - - R R ß W a W ß F a 



= FF aß (1-RR'), 



wenn zur Abkürzung F' = lg F gesetzt wird. Die Funktionen R und R' sind also an 

 einander allein durch die Bedingung gebunden, daß in dem Ausdrucke für .?, unter dem 

 Integralzeichen ein vollständiges Differential steht, d. h. durch die Gleichung (82), außerdem 

 aber mit W durch die Gleichung (84 b) verkettet, die eine Folge der übrigen Gleichungen 

 sein muß. 



Wir betrachten als Beispiel die Flächen, welche auf eine Ebene abwickelbar sind. 

 Da sie das Krümmungsmaß Null haben, ist nach (28): (A, ,a) = 0, also /t eine Funktion 

 von /. , ferner nach (80) auch (<P, W) = 0, also W eine Funktion von <P, ferner 

 F = Const., also nach (36): 

 (85) W, M W ßß - Wlß = 0, 



