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ferner nach (19): 



(86) W a W ß cosin- co' = Const. = C, 

 und durch Differentiation: 



W a « W t , + W a W aß = 2 -~-v • co a , 



cosm 6 co 



(86a) , 



Wo, TT, + W a M^ = ^-^^ • «tf , 

 ' ' cosin *" co 



folglich : 



(86 b) (co 4 , W a ) = und (co', Wß) = 0, 



d. h. "PT a und Wß sind einzeln Funktionen von co' : 



(87) .TT. = v K) , W> = v, K) , 

 (87 a) yi (w') co; = </'' («') <o' ß . 



Dies ist eine partielle Gleichung erster Ordnung für co' , welche ergibt: 



(88) a W [(co') + ßy>'(co') = x (co'), 



wo x eine weitere willkürliche Funktion bezeichnet und wo nach (86) 



y> (co') • if 1 (co 1 ) • cosin - co' = C . 



Durch die Gleichungen (87) und (88) sind W und co' als Funktionen von a, ß 

 definiert; X und ii ergeben sich dann aus (15) und (loa), wobei die Beziehung ). — (i = 2co' 

 zu beachten ist. Es ist W bestimmt durch 



W = $W(co')da + Vl (co')dß] 



und hier steht wegen (87 a) unter dem Integralzeichen ein vollständiges Differential. 

 Für die Biegungsflächen haben wir nach (82) R und R' aus der Gleichung 



(89) Rß y (co') + R a Vl (co') + (R + R') y>' (co') co ß = 



zu bestimmen, was nach den Entwicklungen von § 9 geschehen kann; dabei ist 



(90) RR' W a W ß cosin 2 SB' = C = W a W ß cosin- co' . 



Hier sind wegen (83b) RW a und R'Wß partielle Differentialquotienten einer Funk- 

 tion z x und diese muß der Gleichung (84) genügen, welche sich wegen F* = Konst. auf 



da- dß- \dadß) 



reduziert. Für R W a und R' Wß bestehen also dieselben Gleichungen, wie oben unter (87) 

 für W a und Wß-, d. h. diese Ausdrücke sind Funktionen einer Funktion 2ß (die an Stelle 

 von co tritt); und folglich ist 



(BW., R'Wß) = 0, 

 oder entwickelt : 



RR' (W a , Wß) + W tt R' (R, W ß ) + WßR(W a ,R') + W a W ß (R, R') = 0. 

 Diese Gleichung aber ist für unseren Fall mit obiger Gleichung (84 b) identisch. 



